Jika 2tan^2 x+3tanx-2=0, 1/2pi<x<pi, maka sin x+cos x= ...

akar(5)/5

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah 2tan^2 x + 3tanx - 2 = 0. Ini adalah persamaan kuadrat dalam tan x. Kita dapat memfaktorkannya menjadi (2tan x - 1)(tan x + 2) = 0. Maka, 2tan x - 1 = 0 atau tan x + 2 = 0. Ini memberikan tan x = 1/2 atau tan x = -2. Diketahui bahwa 1/2pi < x < pi, yang berarti x berada di kuadran II. Di kuadran II, nilai tan x adalah negatif. Oleh karena itu, kita pilih tan x = -2. Jika tan x = -2, kita dapat membayangkan segitiga siku-siku di mana sisi depan adalah 2 dan sisi samping adalah 1 (dengan tanda negatif untuk x karena di kuadran II). Sisi miring (hipotenusa) dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras: akar(1^2 + 2^2) = akar(5). Di kuadran II, sin x positif dan cos x negatif. Maka, sin x = 2/akar(5) dan cos x = -1/akar(5). Nilai sin x + cos x adalah 2/akar(5) + (-1/akar(5)) = 1/akar(5). Untuk merasionalkan penyebut, kita kalikan dengan akar(5)/akar(5), sehingga hasilnya adalah akar(5)/5.