Jika 9x=pi,tentukan nilai dari cos x cos (2x) cos (3x) cos

1/16

Pembahasan

Diketahui persamaan 9x = pi, yang berarti x = pi/9.
Kita perlu mencari nilai dari cos x cos (2x) cos (3x) cos (4x).
Substitusikan x = pi/9:
cos(pi/9) cos(2pi/9) cos(3pi/9) cos(4pi/9)
= cos(pi/9) cos(2pi/9) cos(pi/3) cos(4pi/9)
Kita tahu bahwa cos(pi/3) = 1/2.
Jadi, ekspresi menjadi: (1/2) cos(pi/9) cos(2pi/9) cos(4pi/9)
Menggunakan identitas trigonometri 2 cos A cos B = cos(A+B) + cos(A-B):
2 cos(pi/9) cos(2pi/9) = cos(3pi/9) + cos(-pi/9) = cos(pi/3) + cos(pi/9) = 1/2 + cos(pi/9)
Jadi, ekspresi menjadi: (1/2) * (1/2) * [cos(pi/9) cos(4pi/9)]
Kita juga bisa menggunakan identitas lain, atau memanipulasi ekspresi awal.
Mari kita coba pendekatan lain:
Misalkan P = cos(pi/9) cos(2pi/9) cos(3pi/9) cos(4pi/9)
Kita tahu bahwa cos(3pi/9) = cos(pi/3) = 1/2.
Dan cos(4pi/9) = cos(pi - 5pi/9) = -cos(5pi/9)
cos(2pi/9) = cos(pi - 7pi/9) = -cos(7pi/9)
Ini tidak menyederhanakan.
Mari kita gunakan identitas: sin(2A) = 2 sin A cos A.
Kalikan P dengan sin(pi/9):
sin(pi/9) P = sin(pi/9) cos(pi/9) cos(2pi/9) cos(3pi/9) cos(4pi/9)
= (1/2) sin(2pi/9) cos(2pi/9) cos(3pi/9) cos(4pi/9)
= (1/4) sin(4pi/9) cos(4pi/9) cos(3pi/9)
= (1/8) sin(8pi/9) cos(3pi/9)
Kita tahu sin(8pi/9) = sin(pi - pi/9) = sin(pi/9).
Jadi, sin(pi/9) P = (1/8) sin(pi/9) cos(3pi/9)
Karena sin(pi/9) tidak nol, kita bisa membaginya:
P = (1/8) cos(3pi/9)
P = (1/8) cos(pi/3)
P = (1/8) * (1/2)
P = 1/16