Jika A, B memenuhi sistem {(2 A)/(A-2 B)-(6 B)/(A+2 B)=3

Dengan asumsi ada kesalahan pada persamaan kedua dan menggunakan solusi dari persamaan pertama, nilai ekspresi adalah 1/3.

Pembahasan

Kita diberikan sistem persamaan: 
1) (2A)/(A-2B) - (6B)/(A+2B) = 3 
2) -(2A)/(A-2B) + (6B)/(A+2B) = -1 
Untuk menyelesaikan sistem ini, kita bisa menjumlahkan kedua persamaan untuk mengeliminasi suku (2A)/(A-2B). 
Dengan menjumlahkan (1) dan (2): 
[(2A)/(A-2B) - (6B)/(A+2B)] + [-(2A)/(A-2B) + (6B)/(A+2B)] = 3 + (-1) 
0 = 2. 
Ini menunjukkan bahwa ada kesalahan dalam persamaan yang diberikan atau tidak ada solusi yang memenuhi kedua persamaan tersebut secara bersamaan, karena kita mendapatkan kontradiksi 0 = 2. 
Namun, jika kita mengasumsikan bahwa ada kemungkinan kesalahan ketik dan mencoba metode eliminasi atau substitusi dengan cara yang berbeda, atau jika kita ingin mencari nilai dari ekspresi (AB)/(A^2 - 4B^2) dengan cara lain. 
Mari kita coba mengalikan persamaan (1) dengan 1 dan persamaan (2) dengan 1, lalu menjumlahkannya. 
Persamaan 1: (2A)/(A-2B) - (6B)/(A+2B) = 3 
Persamaan 2: -(2A)/(A-2B) + (6B)/(A+2B) = -1 
Jika kita jumlahkan kedua persamaan: 
(2A)/(A-2B) - (2A)/(A-2B) - (6B)/(A+2B) + (6B)/(A+2B) = 3 - 1 
0 = 2 
Ini masih menghasilkan kontradiksi. 
Asumsikan ada kesalahan ketik pada soal dan kita coba menjumlahkan persamaan 1 dengan persamaan 2 untuk mencari nilai dari salah satu suku. 
Misalkan X = (2A)/(A-2B) dan Y = (6B)/(A+2B). 
Maka sistemnya menjadi: 
X - Y = 3 
-X + Y = -1 
Jika kita jumlahkan kedua persamaan: (X - Y) + (-X + Y) = 3 + (-1) 
0 = 2. 
Ini tetap konsisten bahwa sistem ini tidak memiliki solusi. 
Namun, mari kita coba metode lain. Jika kita mengurangi persamaan (2) dari persamaan (1): 
[(2A)/(A-2B) - (6B)/(A+2B)] - [-(2A)/(A-2B) + (6B)/(A+2B)] = 3 - (-1) 
(2A)/(A-2B) - (6B)/(A+2B) + (2A)/(A-2B) - (6B)/(A+2B) = 4 
(4A)/(A-2B) - (12B)/(A+2B) = 4 
Bagi dengan 4: (A)/(A-2B) - (3B)/(A+2B) = 1. 
Ini tidak langsung membantu. 
Kembali ke asumsi awal bahwa ada kontradiksi. 
Namun, jika kita lihat format soal, biasanya ada jawaban yang bisa dicapai. 
Mari kita coba kalikan persamaan (1) dengan (A+2B) dan persamaan (2) dengan (A-2B) untuk menghilangkan penyebut. 
Dari persamaan 1: 2A(A+2B) - 6B(A-2B) = 3(A-2B)(A+2B) 
2A^2 + 4AB - 6AB + 12B^2 = 3(A^2 - 4B^2) 
2A^2 - 2AB + 12B^2 = 3A^2 - 12B^2 
15B^2 - 2AB - A^2 = 0. 
Dari persamaan 2: -2A(A+2B) + 6B(A-2B) = -1(A-2B)(A+2B) 
-2A^2 - 4AB + 6AB - 12B^2 = -(A^2 - 4B^2) 
-2A^2 + 2AB - 12B^2 = -A^2 + 4B^2 
-A^2 - 2AB + 16B^2 = 0. 
Kita memiliki dua persamaan kuadrat: 
1') A^2 + 2AB - 15B^2 = 0 
2') A^2 + 2AB - 16B^2 = 0 
Dari (1'), kita bisa faktorkan: (A + 5B)(A - 3B) = 0. 
Maka A = -5B atau A = 3B. 
Substitusikan ke (2'): 
Jika A = -5B: (-5B)^2 + 2(-5B)B - 16B^2 = 25B^2 - 10B^2 - 16B^2 = -B^2. Agar sama dengan 0, maka B=0, yang akan membuat A=0, tetapi penyebut tidak boleh nol. 
Jika A = 3B: (3B)^2 + 2(3B)B - 16B^2 = 9B^2 + 6B^2 - 16B^2 = -B^2. Juga menghasilkan B=0. 
Ini lagi-lagi menunjukkan masalah dengan soal. 
Mari kita coba cara lain. Tambahkan persamaan 1 dan 2: 0 = 2. Ini adalah kontradiksi. 
Kurangi persamaan 2 dari 1: 2 * (2A)/(A-2B) - 2 * (6B)/(A+2B) = 4 
(4A)/(A-2B) - (12B)/(A+2B) = 4 
(A)/(A-2B) - (3B)/(A+2B) = 1 
A(A+2B) - 3B(A-2B) = (A-2B)(A+2B) 
A^2 + 2AB - 3AB + 6B^2 = A^2 - 4B^2 
-AB + 6B^2 = -4B^2 
-AB = -10B^2 
Jika B tidak sama dengan 0, maka -A = -10B atau A = 10B. 
Substitusikan A = 10B ke salah satu persamaan awal. 
Misal ke persamaan 1: 
(2(10B))/(10B-2B) - (6B)/(10B+2B) = 3 
(20B)/(8B) - (6B)/(12B) = 3 
20/8 - 6/12 = 3 
5/2 - 1/2 = 3 
4/2 = 3 
2 = 3. 
Ini juga kontradiksi. 
Ada kemungkinan soal ini memiliki kesalahan ketik yang signifikan. 
Namun, jika kita mengabaikan kontradiksi dan hanya fokus pada mencari nilai dari ekspresi (AB)/(A^2 - 4B^2). 
Kita punya A^2 + 2AB - 15B^2 = 0 => (A+5B)(A-3B)=0 
Dan A^2 + 2AB - 16B^2 = 0. 
Jika A = 3B, maka (3B)^2 + 2(3B)B - 15B^2 = 9B^2 + 6B^2 - 15B^2 = 0. 
Jika A = 3B, maka A^2 - 4B^2 = (3B)^2 - 4B^2 = 9B^2 - 4B^2 = 5B^2. 
AB = (3B)B = 3B^2. 
Maka (AB)/(A^2 - 4B^2) = (3B^2)/(5B^2) = 3/5. 
Jika A = -5B, maka (-5B)^2 + 2(-5B)B - 15B^2 = 25B^2 - 10B^2 - 15B^2 = 0. 
Jika A = -5B, maka A^2 - 4B^2 = (-5B)^2 - 4B^2 = 25B^2 - 4B^2 = 21B^2. 
AB = (-5B)B = -5B^2. 
Maka (AB)/(A^2 - 4B^2) = (-5B^2)/(21B^2) = -5/21. 
Karena pilihan jawaban berupa pecahan positif, mari kita cek lagi pengerjaan. 
Kembali ke sistem awal: 
X - Y = 3 
-X + Y = -1 
Jika kita jumlahkan: 0=2. 
Jika kita kurangkan kedua persamaan: 2X - 2Y = 4 
X - Y = 2. 
Ini bertentangan dengan persamaan X - Y = 3. 
Kesimpulan: Soal ini memiliki inkonsistensi internal yang membuatnya tidak mungkin diselesaikan seperti yang tertulis. 
Namun, jika kita berasumsi ada kesalahan ketik pada bagian kedua persamaan menjadi: -(2A)/(A-2B) + (6B)/(A+2B) = 1, 
Maka X - Y = 3 dan -X + Y = 1. 
Menjumlahkan: 0=4 (masih kontradiksi). 
Jika kita berasumsi ada kesalahan ketik pada bagian pertama persamaan menjadi: (2A)/(A-2B) + (6B)/(A+2B) = 3, 
Maka X + Y = 3 dan -X + Y = -1. 
Menjumlahkan: 2Y = 2 => Y = 1. 
Substitusi Y=1 ke X+Y=3 => X+1=3 => X=2. 
Jadi, (2A)/(A-2B) = 2 dan (6B)/(A+2B) = 1. 
Dari (2A)/(A-2B) = 2 => 2A = 2(A-2B) => 2A = 2A - 4B => 4B = 0 => B = 0. 
Jika B=0, maka penyebut A-2B = A dan A+2B = A. Maka (2A)/A = 2, yang benar. 
Namun, (6B)/(A+2B) = (6*0)/A = 0. Tapi kita dapat Y=1. Jadi ini juga kontradiksi. 
Mari kita coba asumsikan salah ketik pada bagian kedua persamaan menjadi: -(2A)/(A+2B) + (6B)/(A-2B) = -1. 
Maka (2A)/(A-2B) - (6B)/(A+2B) = 3 
-(2A)/(A+2B) + (6B)/(A-2B) = -1 
Ini juga rumit. 
Mari kita fokus pada ekspresi yang dicari: (AB)/(A^2 - 4B^2). 
Perhatikan bahwa A^2 - 4B^2 = (A - 2B)(A + 2B). 
Jadi ekspresi yang dicari adalah (AB) / [(A - 2B)(A + 2B)]. 
Mari kita kembali ke persamaan yang sudah diubah: 
1') A^2 + 2AB - 15B^2 = 0 
2') A^2 + 2AB - 16B^2 = 0 
Jika kita kurangkan 2') dari 1'): 
(A^2 + 2AB - 15B^2) - (A^2 + 2AB - 16B^2) = 0 - 0 
B^2 = 0 => B = 0. 
Ini kembali ke masalah penyebut yang tidak boleh nol. 
Dengan adanya kontradiksi yang konsisten di berbagai pendekatan, kemungkinan besar soal ini tidak memiliki solusi yang valid atau ada kesalahan penulisan pada soal. 
Namun, jika kita melihat pilihan jawaban, dan jika kita mengabaikan kontradiksi dan mengasumsikan salah satu solusi dari faktorisasi A^2 + 2AB - 15B^2 = 0 adalah yang benar (yaitu A=3B atau A=-5B), dan mencoba memasukkannya ke dalam bentuk yang dicari. 
Jika A=3B, maka (AB)/(A^2 - 4B^2) = (3B*B) / ((3B)^2 - 4B^2) = (3B^2) / (9B^2 - 4B^2) = 3B^2 / 5B^2 = 3/5. 
Jika A=-5B, maka (AB)/(A^2 - 4B^2) = (-5B*B) / ((-5B)^2 - 4B^2) = (-5B^2) / (25B^2 - 4B^2) = -5B^2 / 21B^2 = -5/21. 
Karena 3/5 ada di pilihan jawaban (jika diubah menjadi 1/x = 5/3 atau x = 3/5, yang tidak ada), dan 3/5 = 0.6. Pilihan C adalah 2/3 ≈ 0.667. Pilihan E adalah 5/6 ≈ 0.833. Pilihan D adalah 4/3 ≈ 1.333. Pilihan B adalah 1/3 ≈ 0.333. Pilihan A adalah 1/6 ≈ 0.167. 
Nilai 3/5 tidak ada di pilihan. 
Mari kita periksa kembali perhitungan mengeliminasi penyebut. 
Dari persamaan 1: 2A(A+2B) - 6B(A-2B) = 3(A^2 - 4B^2) 
2A^2 + 4AB - 6AB + 12B^2 = 3A^2 - 12B^2 
2A^2 - 2AB + 12B^2 = 3A^2 - 12B^2 
-A^2 - 2AB + 24B^2 = 0 
A^2 + 2AB - 24B^2 = 0 
Faktorkan: (A + 6B)(A - 4B) = 0. 
Maka A = -6B atau A = 4B. 
Sekarang dari persamaan 2: -2A(A+2B) + 6B(A-2B) = -1(A^2 - 4B^2) 
-2A^2 - 4AB + 6AB - 12B^2 = -A^2 + 4B^2 
-2A^2 + 2AB - 12B^2 = -A^2 + 4B^2 
-A^2 + 2AB - 16B^2 = 0 
A^2 - 2AB + 16B^2 = 0. 
Substitusikan A = -6B: 
(-6B)^2 - 2(-6B)B + 16B^2 = 36B^2 + 12B^2 + 16B^2 = 64B^2. Agar sama dengan 0, maka B=0. 
Substitusikan A = 4B: 
(4B)^2 - 2(4B)B + 16B^2 = 16B^2 - 8B^2 + 16B^2 = 24B^2. Agar sama dengan 0, maka B=0. 
Ini masih menunjukkan kontradiksi. 
Mari kita coba menjumlahkan kedua persamaan awal lagi: 
(2A)/(A-2B) - (6B)/(A+2B) = 3 
-(2A)/(A-2B) + (6B)/(A+2B) = -1 
Jumlahkan kedua persamaan: 0 = 2. 
Jika kita salah menginterpretasikan tanda pada persamaan kedua, dan seharusnya: (2A)/(A-2B) + (6B)/(A+2B) = -1, 
Maka dengan X = (2A)/(A-2B) dan Y = (6B)/(A+2B): 
X - Y = 3 
X + Y = -1 
Jumlahkan: 2X = 2 => X = 1. 
Substitusi X=1 ke X-Y=3 => 1-Y=3 => Y=-2. 
Jadi, (2A)/(A-2B) = 1 => 2A = A-2B => A = -2B. 
Dan (6B)/(A+2B) = -2 => 6B = -2(A+2B) => 6B = -2A - 4B => 10B = -2A. 
Substitusi A = -2B ke 10B = -2A: 10B = -2(-2B) => 10B = 4B => 6B = 0 => B = 0. 
Ini kembali ke masalah penyebut nol. 
Jika kita anggap soal ini berasal dari sumber yang valid dan ada jawaban yang benar di antara pilihan. Mari kita coba substitusi pilihan jawaban ke dalam ekspresi yang dicari, tetapi kita tidak tahu nilai A dan B. 
Mari kita coba pendekatan lain. Misalkan kita membagi pembilang dan penyebut dari suku-suku di persamaan. 
Misal A = kB. 
(2kB)/(kB-2B) - (6B)/(kB+2B) = 3 
(2k)/(k-2) - 6/(k+2) = 3 
2k(k+2) - 6(k-2) = 3(k-2)(k+2) 
2k^2 + 4k - 6k + 12 = 3(k^2 - 4) 
2k^2 - 2k + 12 = 3k^2 - 12 
k^2 + 2k - 24 = 0 
(k+6)(k-4) = 0. 
Maka k = -6 atau k = 4. Jadi A = -6B atau A = 4B. 
Sekarang persamaan kedua: 
-(2A)/(A-2B) + (6B)/(A+2B) = -1 
-(2kB)/(kB-2B) + (6B)/(kB+2B) = -1 
-(2k)/(k-2) + 6/(k+2) = -1 
-2k(k+2) + 6(k-2) = -1(k-2)(k+2) 
-2k^2 - 4k + 6k - 12 = -(k^2 - 4) 
-2k^2 + 2k - 12 = -k^2 + 4 
k^2 - 2k + 16 = 0. 
Cek diskriminan: D = (-2)^2 - 4(1)(16) = 4 - 64 = -60. Tidak ada solusi real untuk k. 
Ini lagi-lagi menunjukkan inkonsistensi soal. 
Namun, jika kita mengasumsikan salah satu dari solusi k dari persamaan pertama adalah yang benar, yaitu A = -6B atau A = 4B. 
Kita perlu mencari nilai dari (AB)/(A^2 - 4B^2). 
Substitusi A = kB: (kB * B) / ((kB)^2 - 4B^2) = (kB^2) / (k^2 B^2 - 4B^2) = k / (k^2 - 4). 
Jika k = -6: (-6) / ((-6)^2 - 4) = -6 / (36 - 4) = -6 / 32 = -3 / 16. 
Jika k = 4: (4) / (4^2 - 4) = 4 / (16 - 4) = 4 / 12 = 1 / 3. 
Nilai 1/3 ada di pilihan B. Mari kita cek apakah A = 4B memenuhi kedua persamaan asal. 
Jika A = 4B, maka dari persamaan pertama: 
(2(4B))/(4B-2B) - (6B)/(4B+2B) = (8B)/(2B) - (6B)/(6B) = 4 - 1 = 3. 
Persamaan pertama terpenuhi. 
Sekarang persamaan kedua: 
-(2(4B))/(4B-2B) + (6B)/(4B+2B) = -(8B)/(2B) + (6B)/(6B) = -4 + 1 = -3. 
Namun, persamaan kedua seharusnya menghasilkan -1. Jadi A=4B tidak memenuhi. 
Ini menunjukkan bahwa soal ini sangat bermasalah. 
Jika kita mengasumsikan jawaban B (1/3) adalah benar, maka A=4B seharusnya menjadi solusi yang valid. 
Mari kita coba cari sumber soal ini atau variasi lain. 
Jika kita mengabaikan persamaan kedua dan hanya menggunakan persamaan pertama, kita mendapatkan A=4B atau A=-6B. 
Dari A=4B, nilai ekspresi adalah 1/3. 
Dari A=-6B, nilai ekspresi adalah -3/16. 
Karena 1/3 adalah salah satu pilihan, mari kita pertimbangkan ini sebagai kemungkinan jawaban jika ada kesalahan pada persamaan kedua. 
Dengan asumsi A=4B, maka nilai (AB)/(A^2-4B^2) = 1/3. 
Penjelasan ini didasarkan pada asumsi ada kesalahan pada persamaan kedua dan solusi dari persamaan pertama digunakan untuk menghitung ekspresi.