Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathTrigonometri

Jika (cos theta+sin theta)/(cos theta-sin theta)=akar(3)-2

Pertanyaan

Jika (cos theta+sin theta)/(cos theta-sin theta)=sqrt(3)-2 untuk 0<theta<pi, maka hitunglah nilai dari (cos theta-sin theta) dan (cos theta+sin theta).

Solusi

Verified

cos theta + sin theta = (sqrt(3) - 1) / 2 dan cos theta - sin theta = -(1 + sqrt(3)) / 2

Pembahasan

Untuk mencari nilai (cos theta - sin theta) dan (cos theta + sin theta), kita dapat menggunakan informasi yang diberikan: (cos theta + sin theta) / (cos theta - sin theta) = sqrt(3) - 2. Misalkan A = cos theta + sin theta dan B = cos theta - sin theta. Maka, A/B = sqrt(3) - 2. Kita juga tahu bahwa: A^2 = (cos theta + sin theta)^2 = cos^2 theta + 2 sin theta cos theta + sin^2 theta = 1 + sin(2 theta) B^2 = (cos theta - sin theta)^2 = cos^2 theta - 2 sin theta cos theta + sin^2 theta = 1 - sin(2 theta) Dari A/B = sqrt(3) - 2, kita dapatkan A = B(sqrt(3) - 2). Kuadratkan kedua sisi: A^2 = B^2 (sqrt(3) - 2)^2 A^2 = B^2 (3 - 4sqrt(3) + 4) A^2 = B^2 (7 - 4sqrt(3)) Gantikan A^2 dan B^2: 1 + sin(2 theta) = (1 - sin(2 theta)) (7 - 4sqrt(3)) 1 + sin(2 theta) = 7 - 4sqrt(3) - 7sin(2 theta) + 4sqrt(3)sin(2 theta) Untuk mencari nilai A dan B secara langsung, kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan cos theta: (1 + tan theta) / (1 - tan theta) = sqrt(3) - 2 Kita tahu bahwa tan(45 + theta) = (tan 45 + tan theta) / (1 - tan 45 tan theta) = (1 + tan theta) / (1 - tan theta). Jadi, tan(45 + theta) = sqrt(3) - 2. Nilai tan dari sudut istimewa yang menghasilkan sqrt(3) - 2 adalah tan(15 derajat) atau tan(pi/12). Jadi, 45 + theta = 15 derajat, yang berarti theta = 15 - 45 = -30 derajat. Ini tidak sesuai dengan rentang 0 < theta < pi. Mari kita coba pendekatan lain dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugatnya: (cos theta + sin theta) / (cos theta - sin theta) = sqrt(3) - 2 Kalikan pembilang dan penyebut dengan (cos theta + sin theta): (cos theta + sin theta)^2 / (cos^2 theta - sin^2 theta) = sqrt(3) - 2 (1 + 2 sin theta cos theta) / cos(2 theta) = sqrt(3) - 2 (1 + sin(2 theta)) / cos(2 theta) = sqrt(3) - 2 Kalikan pembilang dan penyebut dengan (cos theta - sin theta): (cos^2 theta - sin^2 theta) / (cos theta - sin theta)^2 = 1 / (sqrt(3) - 2) cos(2 theta) / (1 - sin(2 theta)) = 1 / (sqrt(3) - 2) * (sqrt(3) + 2) / (sqrt(3) + 2) cos(2 theta) / (1 - sin(2 theta)) = sqrt(3) + 2 Ini masih rumit. Mari kita kembali ke A/B = sqrt(3) - 2. Kita dapat menggunakan sifat proporsionalitas: (A+B)/(A-B) = ( (sqrt(3)-2) + 1 ) / ( (sqrt(3)-2) - 1 ) (2 cos theta) / (2 sin theta) = (sqrt(3) - 1) / (sqrt(3) - 3) (cos theta) / (sin theta) = cot theta = (sqrt(3) - 1) / (sqrt(3) - 3) Kalikan dengan konjugat penyebut: cot theta = (sqrt(3) - 1) / (sqrt(3) - 3) * (sqrt(3) + 3) / (sqrt(3) + 3) cot theta = (3 + 3sqrt(3) - sqrt(3) - 3) / (3 - 9) cot theta = (2sqrt(3)) / (-6) cot theta = -sqrt(3) / 3 Karena 0 < theta < pi, dan cot theta negatif, maka theta berada di kuadran II. Nilai theta yang cot-nya -sqrt(3)/3 adalah 120 derajat atau 2pi/3. Jika theta = 2pi/3: cos theta = cos(2pi/3) = -1/2 sin theta = sin(2pi/3) = sqrt(3)/2 Maka: cos theta + sin theta = -1/2 + sqrt(3)/2 = (sqrt(3) - 1) / 2 cos theta - sin theta = -1/2 - sqrt(3)/2 = -(1 + sqrt(3)) / 2 Mari kita cek apakah perbandingannya sesuai: (cos theta + sin theta) / (cos theta - sin theta) = [ (sqrt(3) - 1) / 2 ] / [ -(1 + sqrt(3)) / 2 ] = (sqrt(3) - 1) / -(1 + sqrt(3)) = -(sqrt(3) - 1) / (sqrt(3) + 1) = -(sqrt(3) - 1) / (sqrt(3) + 1) * (sqrt(3) - 1) / (sqrt(3) - 1) = -(3 - 2sqrt(3) + 1) / (3 - 1) = -(4 - 2sqrt(3)) / 2 = -(2 - sqrt(3)) = sqrt(3) - 2 Ini sesuai dengan soal. Jadi, nilai dari (cos theta - sin theta) adalah -(1 + sqrt(3)) / 2 dan nilai dari (cos theta + sin theta) adalah (sqrt(3) - 1) / 2.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Persamaan Trigonometri
Section: Identitas Trigonometri

Apakah jawaban ini membantu?
Jika (cos theta+sin theta)/(cos theta-sin theta)=akar(3)-2 - Saluranedukasi