Jika di antara suku pertama dan suku kedua suatu barisan

Rasio = 2, Rumus un = 10 * 2^(n-1), S10 = 10230.

Pembahasan

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama u1 dan rasio r. Disisipkan 4 bilangan di antara suku pertama dan kedua, sehingga membentuk barisan aritmetika dengan beda 2. Ini berarti barisan tersebut memiliki 6 suku, di mana suku pertama adalah u1 dan suku kedua barisan geometri menjadi suku keenam dari barisan aritmetika.

Barisan aritmetikanya adalah: u1, u1+2, u1+4, u1+6, u1+8, u1+10.
Suku pertama barisan geometri = u1.
Suku kedua barisan geometri = u1+10.

Diketahui suku ke-3 barisan geometri adalah 40.
Rumus suku ke-n barisan geometri: un = u1 * r^(n-1)

a. Menentukan rasio barisan geometri:
Suku kedua barisan geometri = u1 * r = u1 + 10
Suku ketiga barisan geometri = u1 * r^2 = 40

Dari u1 * r = u1 + 10, kita dapatkan u1(r-1) = 10.
Dari u1 * r^2 = 40, kita dapatkan u1 = 40 / r^2.
Substitusikan u1 ke persamaan pertama:
(40 / r^2) * (r-1) = 10
40(r-1) = 10r^2
40r - 40 = 10r^2
10r^2 - 40r + 40 = 0
r^2 - 4r + 4 = 0
(r-2)^2 = 0
r = 2

Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah 2.

b. Menentukan rumus umum barisan geometri:
Kita tahu r = 2. Sekarang cari u1:
u1 = 40 / r^2 = 40 / 2^2 = 40 / 4 = 10.
Rumus umum barisan geometri adalah un = u1 * r^(n-1) = 10 * 2^(n-1).

c. Menentukan jumlah 10 suku pertama deret tersebut:
Jumlah n suku pertama deret geometri: Sn = u1 * (r^n - 1) / (r - 1)
S10 = 10 * (2^10 - 1) / (2 - 1)
S10 = 10 * (1024 - 1) / 1
S10 = 10 * 1023
S10 = 10230

Jadi:
a. Rasio barisan geometri adalah 2.
b. Rumus umum barisan geometri adalah un = 10 * 2^(n-1).
c. Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah 10230.