Jika f^-1(x+5/x-5)=8/x+5 , maka nilai a sehingga f(a)=-4

1

Pembahasan

Diketahui fungsi invers $f^{-1}(\frac{x+5}{x-5}) = \frac{8}{x+5}$. Kita ingin mencari nilai $a$ sehingga $f(a) = -4$. Ini berarti kita perlu mencari nilai $x$ sedemikian rupa sehingga $f^{-1}(\frac{x+5}{x-5}) = a$. Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan mencari fungsi $f(x)$ terlebih dahulu. Misalkan $y = \frac{x+5}{x-5}$. Kita perlu mengekspresikan $x$ dalam bentuk $y$. $y(x-5) = x+5$ $yx - 5y = x+5$ $yx - x = 5y + 5$ $x(y-1) = 5y + 5$ $x = \frac{5y+5}{y-1}$. Jadi, $f^{-1}(y) = \frac{8}{x+5}$. Substitusikan $x$ ke dalam ekspresi $f^{-1}(y)$: $f^{-1}(y) = \frac{8}{(\frac{5y+5}{y-1})+5}$. Sederhanakan penyebutnya: $(\frac{5y+5}{y-1})+5 = \frac{5y+5 + 5(y-1)}{y-1} = \frac{5y+5 + 5y-5}{y-1} = \frac{10y}{y-1}$. Maka, $f^{-1}(y) = \frac{8}{\frac{10y}{y-1}} = \frac{8(y-1)}{10y} = \frac{4(y-1)}{5y}$. Jadi, fungsi inversnya adalah $f^{-1}(y) = \frac{4y-4}{5y}$. Untuk mencari fungsi $f(x)$, kita tukar $x$ dan $y$ (atau langsung gunakan definisi $f(f^{-1}(x)) = x$). Jika $f^{-1}(x) = \frac{4x-4}{5x}$, maka untuk mencari $f(x)$, kita perlu menyelesaikan $y = \frac{4x-4}{5x}$ untuk $x$. $5xy = 4x - 4$ $5xy - 4x = -4$ $x(5y-4) = -4$ $x = \frac{-4}{5y-4} = \frac{4}{4-5y}$. Jadi, $f(x) = \frac{4}{4-5x}$. Sekarang kita perlu mencari nilai $a$ sehingga $f(a) = -4$. $\frac{4}{4-5a} = -4$. $4 = -4(4-5a)$ $4 = -16 + 20a$ $4 + 16 = 20a$ $20 = 20a$ $a = 1$. Verifikasi: $f(1) = \frac{4}{4-5(1)} = \frac{4}{4-5} = \frac{4}{-1} = -4$. Jadi nilai $a$ adalah 1.