Jika f(x) = a tan x + bx, f'(phi/4)=3, dan f'(phi/3)=9,

Nilai a+b adalah 0.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi $f(x) = a \tan x + bx$ dan kemudian menggunakan informasi yang diberikan mengenai nilai turunan pada titik tertentu untuk menemukan nilai $a+b$.

Langkah 1: Cari turunan pertama dari $f(x)$.
Turunan dari $\tan x$ adalah $\sec^2 x$, dan turunan dari $bx$ adalah $b$.
Jadi, $f'(x) = a \sec^2 x + b$.

Langkah 2: Gunakan informasi $f'(\pi/4) = 3$.
Kita tahu bahwa $\sec x = 1/\cos x$. Nilai $\cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2$, sehingga $\sec(\pi/4) = 2/\sqrt{2} = \sqrt{2}$.
Maka, $(\sec(\pi/4))^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.
Substitusikan ke dalam $f'(x)$:
$f'(\pi/4) = a(2) + b = 2a + b$
Karena $f'(\pi/4) = 3$, maka kita punya persamaan pertama:
$2a + b = 3$ (Persamaan 1)

Langkah 3: Gunakan informasi $f'(\pi/3) = 9$.
Nilai $\cos(\pi/3) = 1/2$, sehingga $\sec(\pi/3) = 2$.
Maka, $(\sec(\pi/3))^2 = (2)^2 = 4$.
Substitusikan ke dalam $f'(x)$:
$f'(\pi/3) = a(4) + b = 4a + b$
Karena $f'(\pi/3) = 9$, maka kita punya persamaan kedua:
$4a + b = 9$ (Persamaan 2)

Langkah 4: Selesaikan sistem persamaan linear untuk menemukan nilai $a$ dan $b$.
Kita punya sistem persamaan:
1) $2a + b = 3$
2) $4a + b = 9$

Untuk mengeliminasi $b$, kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
$(4a + b) - (2a + b) = 9 - 3$
$2a = 6$
$a = 3$

Substitusikan nilai $a = 3$ ke dalam Persamaan 1:
$2(3) + b = 3$
$6 + b = 3$
$b = 3 - 6$
$b = -3$

Langkah 5: Hitung nilai $a+b$.
$a + b = 3 + (-3) = 0$

Jadi, nilai $a+b$ adalah 0.