Jika f(x)=x^2+2 dan g(x)=akar(x-1), daerah asal fungsi f o

[1, ∞)

Pembahasan

Untuk menentukan daerah asal fungsi komposisi $f 	ext{ o } g(x) = f(g(x))$, kita perlu mempertimbangkan dua hal:
1. Daerah asal fungsi $g(x)$.
2. Daerah hasil dari $g(x)$ yang menjadi daerah asal untuk $f(x)$.

Diketahui:
$f(x) = x^2 + 2$
$g(x) = \sqrt{x-1}$

Langkah 1: Tentukan daerah asal fungsi $g(x)$.
Agar $g(x)$ terdefinisi, ekspresi di dalam akar harus non-negatif:
$x - 1 
gtr 0$
$x 
gtr 1$
Jadi, daerah asal $g(x)$ adalah $x 
gtr 1$. Dalam notasi interval, ini adalah $[1, 
infin)$.

Langkah 2: Tentukan daerah hasil fungsi $g(x)$.
Karena $g(x) = \sqrt{x-1}$, nilai minimum dari $g(x)$ terjadi saat $x=1$, yaitu $g(1) = \sqrt{1-1} = 0$.
Seiring dengan bertambahnya $x$, nilai $g(x)$ juga akan bertambah. Nilai maksimumnya menuju tak hingga.
Jadi, daerah hasil $g(x)$ adalah $[0, 
infin)$.

Langkah 3: Tentukan daerah asal komposisi $f(g(x))$.
Fungsi komposisi $f(g(x))$ berarti kita substitusikan $g(x)$ ke dalam $f(x)$.
$f(g(x)) = f(\sqrt{x-1}) = (\sqrt{x-1})^2 + 2 = (x-1) + 2 = x + 1$.

Sekarang, kita perlu memastikan bahwa input untuk $f(g(x))$ berasal dari daerah asal $g(x)$, dan output dari $g(x)$ valid sebagai input untuk $f(x)$.
Daerah asal $f(x) = x^2 + 2$ adalah semua bilangan real, karena tidak ada pembatasan pada input $x$ untuk fungsi kuadrat.
Namun, agar $f(g(x))$ terdefinisi, $g(x)$ harus terdefinisi terlebih dahulu.

Kita sudah menemukan bahwa daerah asal $g(x)$ adalah $x 
gtr 1$.

Jadi, daerah asal dari fungsi komposisi $f 	ext{ o } g$ adalah daerah asal dari $g(x)$, yaitu $x 
gtr 1$.
Dalam notasi interval, daerah asalnya adalah $[1, 
infin)$.