Jika fungsi f dengan f(x)=sqrt[3]{x^(3)+m^(3) x^(6)) ,

12

Pembahasan

Untuk menentukan nilai 8m³ + 8, kita perlu mencari nilai m terlebih dahulu. Fungsi f(x) = \sqrt[3]{x^3 + m^3 x^6)} turun pada interval (-tak hingga, -1]. Ini berarti turunan pertama dari fungsi f(x) harus negatif atau nol pada interval tersebut.

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).
f(x) = (x³ + m³x⁶)^(1/3)
f'(x) = (1/3) * (x³ + m³x⁶)^(-2/3) * (3x² + 6m³x⁵)
f'(x) = (3x² + 6m³x⁵) / (3 * (x³ + m³x⁶)^(2/3))
f'(x) = (x² + 2m³x⁵) / (x³ + m³x⁶)^(2/3)
f'(x) = x²(1 + 2m³x³) / (x³(1 + m³x³))^(2/3)
f'(x) = x²(1 + 2m³x³) / (x²(1 + m³x³)^(2/3))
f'(x) = (1 + 2m³x³) / ((1 + m³x³)^(2/3))

Langkah 2: Tentukan kondisi agar f(x) turun.
Fungsi turun ketika f'(x) ≤ 0.
(1 + 2m³x³) / ((1 + m³x³)^(2/3)) ≤ 0
Karena (1 + m³x³)^(2/3) selalu positif (selama penyebut tidak nol), maka kita perlu memastikan pembilangnya negatif atau nol.
1 + 2m³x³ ≤ 0
2m³x³ ≤ -1
m³x³ ≤ -1/2

Langkah 3: Terapkan kondisi pada interval (-tak hingga, -1].
Karena fungsi turun pada (-tak hingga, -1], maka kondisi m³x³ ≤ -1/2 harus terpenuhi untuk semua x dalam interval ini.

Jika x = -1, maka m³(-1)³ ≤ -1/2 => -m³ ≤ -1/2 => m³ ≥ 1/2.

Jika kita memilih x yang mendekati -tak hingga, misalnya x = -2, maka m³(-2)³ ≤ -1/2 => -8m³ ≤ -1/2 => m³ ≥ 1/16.

Agar kondisi terpenuhi untuk seluruh interval, kita harus mengambil nilai m³ yang paling besar yang masih memenuhi semua kondisi. Perhatikan bahwa jika m³ ≥ 1/2, maka m³x³ akan semakin negatif ketika x semakin negatif (karena x³ juga negatif). Oleh karena itu, kondisi terpenuhi jika m³ ≥ 1/2.

Kita perlu mencari nilai m yang memenuhi m³ ≥ 1/2. Ini berarti m ≥ \sqrt[3]{1/2}.

Namun, mari kita periksa kembali turunan. Perhatikan penyebutnya: \sqrt[3]{x^3 + m^3x^6}. Agar fungsi terdefinisi, kita perlu x³ + m³x⁶ ≥ 0.
x³(1 + m³x³) ≥ 0.

Jika x > 0, maka x³ > 0, sehingga 1 + m³x³ ≥ 0.
Jika x < 0, maka x³ < 0, sehingga 1 + m³x³ ≤ 0.

Karena fungsi turun pada (-tak hingga, -1], kita fokus pada x < 0. Dalam kasus ini, kita perlu 1 + m³x³ ≤ 0.
m³x³ ≤ -1.

Sekarang kita kembali ke turunan: f'(x) = x²(1 + 2m³x³) / (x³(1 + m³x³))^(2/3).
Agar f'(x) ≤ 0 pada (-tak hingga, -1], dan kita tahu bahwa x < 0, maka x² > 0 dan x³ < 0.

Jadi, kita perlu (1 + 2m³x³) / (x²(1 + m³x³)^(2/3)) ≤ 0.
Karena x² > 0 dan (1 + m³x³)^(2/3) > 0, maka tanda f'(x) ditentukan oleh (1 + 2m³x³).
Kita perlu 1 + 2m³x³ ≤ 0.
2m³x³ ≤ -1.
m³x³ ≤ -1/2.

Karena kita perlu m³x³ ≤ -1/2 untuk semua x ≤ -1, dan kita juga perlu m³x³ ≤ -1 (dari domain fungsi), maka kita ambil kondisi yang lebih ketat, yaitu m³x³ ≤ -1.

Jika m³ > 0, maka x³ ≤ -1/m³. Agar x³ ≤ -1/m³ terpenuhi untuk semua x ≤ -1, kita perlu -1 ≤ -1/m³.
1 ≥ 1/m³.
m³ ≥ 1.

Jika m³ = 0, maka 0 ≤ -1/2 (benar), tetapi m³x³ ≤ -1 menjadi 0 ≤ -1 (salah). Jadi m³ ≠ 0.

Jika m³ < 0, maka x³ ≥ -1/m³. Agar x³ ≥ -1/m³ terpenuhi untuk semua x ≤ -1, kita perlu -1 ≥ -1/m³.
1 ≤ 1/m³.
m³ ≤ 1.
Karena m³ < 0, maka kondisi ini selalu terpenuhi. Namun, jika m³ < 0, maka m³x³ akan semakin positif ketika x semakin negatif. Agar m³x³ ≤ -1/2, kita perlu mempertimbangkan nilai x yang paling negatif.
Misalnya x = -2, m³(-8) ≤ -1/2 => m³ ≥ 1/16. Ini kontradiksi dengan m³ < 0.
Jadi, kita harus memiliki m³ > 0.

Dengan m³ ≥ 1, maka m³x³ ≤ -1 untuk x ≤ -1. Hal ini juga memenuhi m³x³ ≤ -1/2.
Jadi, kondisi agar fungsi turun pada (-tak hingga, -1] adalah m³ ≥ 1.

Pertanyaannya adalah nilai 8m³ + 8 = ...
Jika m³ ≥ 1, maka 8m³ ≥ 8.
8m³ + 8 ≥ 16.

Mari kita periksa kembali soalnya. Jika turunan *pada* (-tak hingga, -1] berarti f'(x) <= 0.
Kita peroleh m³x³ <= -1/2.
Untuk x = -1, m³(-1) <= -1/2 => -m³ <= -1/2 => m³ >= 1/2.
Untuk x = -2, m³(-8) <= -1/2 => -8m³ <= -1/2 => m³ >= 1/16.
Agar terpenuhi untuk semua x <= -1, kita perlu m³ >= 1/2.

Jika m³ = 1/2, maka f'(x) = (1 + 2(1/2)x³) / ((1 + (1/2)x³)^(2/3)) = (1+x³)/(...) .
Jika x = -1, f'(-1) = (1+(-1))/(...) = 0.
Jika x < -1, misalnya x = -2, m³x³ = (1/2)(-8) = -4. -4 <= -1/2. Maka 1 + 2m³x³ = 1 + 2(-4) = -7 < 0.
Jadi, m³ = 1/2 tampaknya memenuhi.

Jika m³ = 1/2, maka 8m³ + 8 = 8(1/2) + 8 = 4 + 8 = 12.

Jawaban: 12

Metadata:
Grades: 11, 12
Chapters: Kalkulus
Topics: Turunan Fungsi
Sections: Sifat Turunan Fungsi
Type: QnA