Jika fungsi f dinyatakan oleh f(x)=3sin(2x-30) untuk

Titik stasioner adalah (60°, 3) sebagai maksimum lokal dan (150°, -3) sebagai minimum lokal.

Pembahasan

Untuk menentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi \(f(x) = 3\sin(2x-30^\circ)\) untuk \(0^\circ \le x \le 180^\circ\), kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut, menyamakannya dengan nol untuk menemukan nilai \(x\) kritis, lalu menguji nilai \(x\) tersebut menggunakan turunan kedua atau dengan menganalisis perubahan tanda turunan pertama.

1.  **Mencari Turunan Pertama (f'(x)):**
    Kita gunakan aturan rantai. Turunan dari \(\sin(u)\) adalah \(\cos(u) \cdot u'\).
    Di sini, \(u = 2x - 30^\circ\), sehingga \(u' = \frac{d}{dx}(2x - 30^\circ) = 2\).
    \(f'(x) = 3 \cdot \cos(2x - 30^\circ) 	imes 2\)
    \(f'(x) = 6 \cos(2x - 30^\circ)\)

2.  **Mencari Titik Stasioner (f'(x) = 0):**
    \(6 \cos(2x - 30^\circ) = 0\)
    \(\cos(2x - 30^\circ) = 0\)
    Nilai kosinus adalah nol ketika sudutnya adalah \(90^\circ\) atau \(270^\circ\) (dan kelipatannya).
    Jadi, kita punya dua kasus:
    
    Kasus 1: \(2x - 30^\circ = 90^\circ + k 	imes 360^\circ\)
    \(2x = 120^\circ + k 	imes 360^\circ\)
    \(x = 60^\circ + k 	imes 180^\circ\)
    Untuk \(k=0\), \(x = 60^\circ\). Nilai ini berada dalam rentang \(0^\circ \le x \le 180^\circ\).
    Untuk \(k=1\), \(x = 60^\circ + 180^\circ = 240^\circ\), yang berada di luar rentang.
    
    Kasus 2: \(2x - 30^\circ = 270^\circ + k 	imes 360^\circ\)
    \(2x = 300^\circ + k 	imes 360^\circ\)
    \(x = 150^\circ + k 	imes 180^\circ\)
    Untuk \(k=0\), \(x = 150^\circ\). Nilai ini berada dalam rentang \(0^\circ \le x \le 180^\circ\).
    Untuk \(k=1\), \(x = 150^\circ + 180^\circ = 330^\circ\), yang berada di luar rentang.
    
    Jadi, nilai \(x\) kritis (titik stasioner) adalah \(x = 60^\circ\) dan \(x = 150^\circ\).

3.  **Menentukan Jenis Titik Stasioner (menggunakan turunan kedua):**
    Turunan kedua adalah turunan dari \(f'(x) = 6 \cos(2x - 30^\circ)\).
    \(f''(x) = 6 \cdot (-\sin(2x - 30^\circ)) 	imes 2\)
    \(f''(x) = -12 \sin(2x - 30^\circ)\)
    
    Uji \(x = 60^\circ\):
    \(f''(60^\circ) = -12 \sin(2(60^\circ) - 30^\circ)\)
    \(f''(60^\circ) = -12 \sin(120^\circ - 30^\circ)\)
    \(f''(60^\circ) = -12 \sin(90^\circ)\)
    \(f''(60^\circ) = -12 	imes 1 = -12\)
    Karena \(f''(60^\circ) < 0\), maka \(x = 60^\circ\) adalah titik maksimum lokal.
    Nilai fungsi di \(x=60^\circ\) adalah \(f(60^\circ) = 3 \sin(2(60^\circ) - 30^\circ) = 3 \sin(120^\circ - 30^\circ) = 3 \sin(90^\circ) = 3 	imes 1 = 3\). Jadi, titik maksimumnya adalah \((60^\circ, 3)\).
    
    Uji \(x = 150^\circ\):
    \(f''(150^\circ) = -12 \sin(2(150^\circ) - 30^\circ)\)
    \(f''(150^\circ) = -12 \sin(300^\circ - 30^\circ)\)
    \(f''(150^\circ) = -12 \sin(270^\circ)\)
    \(f''(150^\circ) = -12 	imes (-1) = 12\)
    Karena \(f''(150^\circ) > 0\), maka \(x = 150^\circ\) adalah titik minimum lokal.
    Nilai fungsi di \(x=150^\circ\) adalah \(f(150^\circ) = 3 \sin(2(150^\circ) - 30^\circ) = 3 \sin(300^\circ - 30^\circ) = 3 \sin(270^\circ) = 3 	imes (-1) = -3\). Jadi, titik minimumnya adalah \((150^\circ, -3)\).

**Kesimpulan:**
Titik stasioner terjadi pada \(x = 60^\circ\) dan \(x = 150^\circ\).
*   Pada \(x = 60^\circ\), terdapat titik maksimum lokal \((60^\circ, 3)\).
*   Pada \(x = 150^\circ\), terdapat titik minimum lokal \((150^\circ, -3)\).