Jika garis y=8x+1 menyinggung kurva y=2x^3+ax^2+b di (1,c)

16

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan konsep garis singgung pada kurva.
Diketahui:
1. Garis: y = 8x + 1
2. Kurva: y = 2x^3 + ax^2 + b
3. Titik singgung: (1, c)

Karena garis menyinggung kurva di titik (1, c), maka titik tersebut harus memenuhi kedua persamaan.

Langkah 1: Substitusikan titik (1, c) ke persamaan garis.
Karena x=1 dan y=c, maka:
c = 8(1) + 1
c = 8 + 1
c = 9

Jadi, titik singgungnya adalah (1, 9).

Langkah 2: Substitusikan titik (1, 9) ke persamaan kurva.
Karena x=1, y=9, a, dan b adalah konstanta, maka:
9 = 2(1)^3 + a(1)^2 + b
9 = 2(1) + a(1) + b
9 = 2 + a + b

Kita bisa susun ulang persamaan ini untuk mendapatkan hubungan antara a dan b:
a + b = 9 - 2
a + b = 7

Langkah 3: Gunakan informasi turunan untuk mencari nilai a dan b.
Gradien garis singgung sama dengan turunan pertama dari kurva di titik singgung.
Gradien garis y = 8x + 1 adalah m = 8.

Turunan pertama dari kurva y = 2x^3 + ax^2 + b adalah:
y' = d/dx (2x^3 + ax^2 + b)
y' = 6x^2 + 2ax

Pada titik singgung (1, 9), gradien kurva (y') harus sama dengan gradien garis (8).
Jadi, kita substitusikan x=1 ke dalam y':

8 = 6(1)^2 + 2a(1)
8 = 6(1) + 2a
8 = 6 + 2a

2a = 8 - 6
2a = 2
a = 1

Langkah 4: Cari nilai b menggunakan nilai a yang sudah ditemukan.
Kita sudah mendapatkan persamaan a + b = 7.
Substitusikan a = 1:

1 + b = 7
b = 7 - 1
b = 6

Langkah 5: Hitung nilai a + b + c.
Kita sudah menemukan:
a = 1
b = 6
c = 9

Maka, a + b + c = 1 + 6 + 9 = 16.

Jadi, nilai a + b + c adalah 16.