Jika garis y=mx tidak berpotongan dengan hiperbola

Nilai m adalah ±√3/2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai m agar garis y=mx tidak berpotongan dengan hiperbola -3x^2+4y^2=12, kita substitusikan y=mx ke dalam persamaan hiperbola.
-3x^2 + 4(mx)^2 = 12
-3x^2 + 4m^2x^2 = 12
x^2(4m^2 - 3) = 12
x^2 = 12 / (4m^2 - 3)
Agar garis tidak berpotongan dengan hiperbola, persamaan kuadrat untuk x tidak boleh memiliki solusi real. Ini berarti penyebut dari x^2 harus nol atau negatif, sehingga tidak ada nilai x real yang memenuhi persamaan tersebut.
Kasus 1: Penyebut sama dengan nol.
4m^2 - 3 = 0
4m^2 = 3
m^2 = 3/4
m = ± akar(3)/2
Jika penyebutnya nol, maka x^2 menjadi tidak terdefinisi, yang berarti tidak ada titik potong.
Kasus 2: Penyebut negatif.
4m^2 - 3 < 0
4m^2 < 3
m^2 < 3/4
-akar(3)/2 < m < akar(3)/2
Jika penyebutnya negatif, maka x^2 akan bernilai negatif, yang berarti tidak ada solusi real untuk x, sehingga tidak ada titik potong.
Namun, kita perlu mempertimbangkan bentuk hiperbola. Persamaan -3x^2+4y^2=12 dapat ditulis ulang sebagai (4y^2)/12 - (3x^2)/12 = 1, atau y^2/3 - x^2/4 = 1. Ini adalah hiperbola vertikal dengan pusat di (0,0), puncak di (0, ±√3), dan asimtot y = ±(√3/2)x.
Syarat agar garis y=mx tidak berpotongan dengan hiperbola adalah gradien garis m harus sama dengan gradien asimtotnya atau berada di antara gradien asimtotnya dalam artian tidak menyentuh hiperbola sama sekali.
Gradien asimtot untuk hiperbola y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 adalah y = ±(a/b)x. Dalam kasus ini, a^2 = 3 dan b^2 = 4, sehingga a = √3 dan b = 2. Gradien asimtot adalah y = ±(√3/2)x. Jadi, m = ±√3/2.
Jika m = ±√3/2, garis y=mx adalah asimtot dari hiperbola, sehingga garis tersebut mendekati hiperbola tetapi tidak pernah berpotongan. Jadi, nilai m = ±√3/2 adalah kondisi di mana garis tidak berpotongan.
Jika kita melihat kembali ke persamaan x^2 = 12 / (4m^2 - 3), agar tidak ada solusi real untuk x, maka 4m^2 - 3 harus positif agar x^2 positif tetapi tidak ada nilai x yang memenuhi jika m adalah gradien asimtot. Dalam konteks ini, 'tidak berpotongan' mencakup kasus di mana garis adalah asimtot.
Jadi, nilai m harus sama dengan gradien asimtotnya.
m = ±√3/2