Jika lim _(m -> 0) (5^(m)-1)/(m)=x dan lim _(m -> 0)

Nilai limit tersebut adalah xy.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita perlu mengevaluasi dua limit dasar terlebih dahulu:
1.  lim (m -> 0) (5^m - 1) / m = x
2.  lim (m -> 0) (2^m - 1) / m = y
Ini adalah bentuk limit standar lim (a^x - 1) / x saat x mendekati 0, yang hasilnya adalah ln(a) (logaritma natural dari a).
Maka, x = ln(5) dan y = ln(2).

Sekarang kita evaluasi limit yang ditanyakan:
lim (m -> 0) (10^m - 5^m - 2^m + 1) / m^2
Kita bisa memanipulasi ekspresi di pembilang:
10^m - 5^m - 2^m + 1 = (2*5)^m - 5^m - 2^m + 1
= 2^m * 5^m - 5^m - 2^m + 1
= 5^m (2^m - 1) - 1 (2^m - 1)
= (5^m - 1)(2^m - 1)

Jadi, limitnya menjadi:
lim (m -> 0) [(5^m - 1)(2^m - 1)] / m^2
Kita bisa memisahkan limit ini menjadi:
lim (m -> 0) [(5^m - 1) / m] * lim (m -> 0) [(2^m - 1) / m]
= x * y

Namun, perhatikan bahwa soal meminta lim (m -> 0) (10^m - 5^m - 2^m + 1) / m^2. Ekspresi kita adalah (5^m - 1)(2^m - 1). Jika kita membaginya dengan m^2, kita mendapatkan:
lim (m -> 0) [(5^m - 1)/m] * [(2^m - 1)/m] = x * y

Mari kita periksa kembali ekspresi soal dan manipulasi kita:
Pembilang: 10^m - 5^m - 2^m + 1
Kita bisa menulis ulang sebagai:
(5^m * 2^m) - 5^m - 2^m + 1
= 5^m(2^m - 1) - (2^m - 1)
= (5^m - 1)(2^m - 1)

Jadi, limitnya adalah:
lim (m -> 0) [(5^m - 1)(2^m - 1)] / m^2
= lim (m -> 0) [(5^m - 1)/m] * lim (m -> 0) [(2^m - 1)/m]
= x * y

Oleh karena itu, nilai dari limit tersebut adalah xy.