Jika lingkaram x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 yang berpusat di

a + b + c = 22.5

Pembahasan

Persamaan lingkaran umum adalah x^2 + y^2 + ax + by + c = 0.
Berpusat di (1, -6).
Dari bentuk umum, pusat lingkaran adalah (-a/2, -b/2).
Jadi, -a/2 = 1 => a = -2.
Dan -b/2 = -6 => b = 12.

Persamaan lingkaran menjadi x^2 + y^2 - 2x + 12y + c = 0.
Lingkaran menyinggung garis y = x.
Ini berarti jarak dari pusat lingkaran (1, -6) ke garis y = x (atau x - y = 0) sama dengan jari-jari lingkaran.

Rumus jarak dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 adalah |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2).
Dalam kasus ini, (x0, y0) = (1, -6), A = 1, B = -1, C = 0.
Jarak = |1*(1) + (-1)*(-6) + 0| / sqrt(1^2 + (-1)^2)
Jarak = |1 + 6| / sqrt(1 + 1)
Jarak = |7| / sqrt(2)
Jarak = 7 / sqrt(2)

Jari-jari (r) adalah 7/sqrt(2).
Kuadrat jari-jari (r^2) = (7/sqrt(2))^2 = 49/2.

Rumus jari-jari dari persamaan umum lingkaran (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.
Dalam kasus ini, pusat (h, k) = (1, -6), jadi (x-1)^2 + (y-(-6))^2 = r^2
(x-1)^2 + (y+6)^2 = r^2
x^2 - 2x + 1 + y^2 + 12y + 36 = r^2
x^2 + y^2 - 2x + 12y + 37 = r^2

Bandingkan dengan persamaan awal x^2 + y^2 - 2x + 12y + c = 0.
Kita dapat melihat bahwa c = 37 - r^2.
Karena r^2 = 49/2,
maka c = 37 - 49/2 = 74/2 - 49/2 = 25/2.

Kita perlu mencari nilai a + b + c.
a = -2, b = 12, c = 25/2.

a + b + c = -2 + 12 + 25/2
a + b + c = 10 + 12.5
a + b + c = 22.5

Jadi, nilai a + b + c adalah 22.5 atau 45/2.