Jika nilai a=(pi)/(6) dan nilai b=(pi)/(4) , hitunglah: cos

cos(a-b) = (akar 6 + akar 2) / 4

Pembahasan

Kita diminta untuk menghitung nilai dari \(\cos(A-B)\) di mana \(A = \frac{\pi}{6}\) radian dan \(B = \frac{\pi}{4}\) radian.

Pertama, kita ubah nilai A dan B ke dalam derajat jika diperlukan, atau langsung gunakan dalam radian.
\(A = \frac{\pi}{6} \text{ radian} = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ\)
\(B = \frac{\pi}{4} \text{ radian} = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ\)

Selanjutnya, kita hitung \(A - B\):
\(A - B = 30^\circ - 45^\circ = -15^\circ\)

Atau dalam radian:
\(A - B = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}\) radian.

Sekarang kita gunakan rumus cosinus:
\(\cos(A-B) = \cos(-15^\circ)\)

Karena fungsi cosinus adalah fungsi genap, \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\), maka:
\(\cos(-15^\circ) = \cos(15^\circ)\)

Untuk menghitung \(\cos(15^\circ)\), kita bisa menggunakan rumus selisih dua sudut: \(\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y\).
Kita bisa memecah 15 derajat menjadi selisih sudut yang nilainya sudah diketahui, misalnya \(45^\circ - 30^\circ\) atau \(60^\circ - 45^\circ\).

Menggunakan \(15^\circ = 45^\circ - 30^\circ\):
\(\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ)\)
\(\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)\)

Kita tahu nilai-nilai trigonometri berikut:
\(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\)

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus:
\(\cos(15^\circ) = (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2})\)
\(\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}\)
\(\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

Jadi, nilai \(\cos(A-B)\) adalah \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).