Jika p dan q adalah akar-akar dari persamaan x^2 - 4x +

Tidak dapat dihitung karena akar-akarnya kompleks.

Pembahasan

Kita diberikan persamaan kuadrat x^2 - 4x + 48 = 0, dan p serta q adalah akar-akarnya dengan p > q. Kita diminta untuk mencari nilai dari (p!)/(q! (p-q)!).

Ini adalah bentuk koefisien binomial, yang ditulis sebagai C(n, k) atau "n choose k", di mana n adalah jumlah total item dan k adalah jumlah item yang dipilih. Rumusnya adalah n! / (k! * (n-k)!).

Dalam kasus ini, ekspresi (p!)/(q! (p-q)!) sesuai dengan C(p, q).

Namun, sebelum kita dapat menghitung ini, kita perlu menemukan nilai p dan q dari persamaan kuadrat.

Kita gunakan rumus kuadrat: x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a
Untuk x^2 - 4x + 48 = 0, kita punya a=1, b=-4, c=48.

x = [ -(-4) ± √((-4)^2 - 4 * 1 * 48) ] / (2 * 1)
x = [ 4 ± √(16 - 192) ] / 2
x = [ 4 ± √(-176) ] / 2

Karena diskriminan (b^2 - 4ac) negatif, akar-akarnya adalah bilangan kompleks.
√(-176) = √(16 * -11) = 4i√11

x = [ 4 ± 4i√11 ] / 2
x = 2 ± 2i√11

Jadi, akar-akarnya adalah p = 2 + 2i√11 dan q = 2 - 2i√11 (karena p > q, kita perlu mendefinisikan urutan untuk bilangan kompleks, tetapi biasanya dalam konteks ini, jika akar kompleks muncul, mungkin ada kesalahan dalam pemahaman soal atau soal itu sendiri dirancang untuk menunjukkan bahwa ini tidak dapat dihitung dengan bilangan bulat).

Jika kita menganggap soal ini berkaitan dengan kombinatorik dan akar-akarnya seharusnya bilangan real dan bulat positif agar faktorial terdefinisi dengan baik, maka ada kemungkinan ada kekeliruan dalam soal atau konteks yang diberikan. Faktorial biasanya didefinisikan untuk bilangan bulat non-negatif.

Jika kita *memaksakan* interpretasi bahwa p dan q adalah suatu kuantitas yang memungkinkan faktorial, dan bahwa ekspresi tersebut adalah C(p, q), kita perlu nilai p dan q yang merupakan bilangan bulat non-negatif. Dengan akar kompleks yang kita temukan, perhitungan faktorial tidak dapat dilakukan dalam domain bilangan real standar.

Namun, jika ada kemungkinan bahwa soal ini menguji pemahaman tentang koefisien binomial dan bagaimana ia terkait dengan akar-akar polinomial (meskipun dalam kasus ini akar-akarnya kompleks), dan jika kita *mengabaikan* persyaratan p>q dan fakta bahwa akar-akarnya kompleks, dan hanya fokus pada struktur C(p, q), kita masih terbentur pada ketidakmungkinan menghitung faktorial dari bilangan kompleks.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan lain: apakah soal ini mungkin memiliki typo dan seharusnya merujuk pada jumlah dan hasil kali akar?
Dari Vieta's formulas:
p + q = -b/a = -(-4)/1 = 4
p * q = c/a = 48/1 = 48

Bentuk C(p, q) = p! / (q! * (p-q)!) tidak dapat dihitung langsung dari p+q dan pq jika p dan q bukan bilangan bulat. Mengingat akar-akarnya kompleks, soal ini tidak dapat diselesaikan seperti yang tertulis jika kita menggunakan definisi standar faktorial dan kombinasi.

Jika soal ini berasal dari konteks tertentu di mana faktorial diperluas ke bilangan kompleks (menggunakan fungsi Gamma), itu akan menjadi masalah yang jauh lebih kompleks. Namun, untuk tingkat SMA, ini kemungkinan besar adalah soal yang cacat atau menguji pemahaman bahwa faktorial tidak terdefinisi untuk akar kompleks dalam konteks ini.