Jika p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat x^2 - 5x -

Persamaan kuadrat baru adalah $x^2 - 12x + 7 = 0$.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah 2p + 1 dan 2q + 1, kita dapat menggunakan sifat akar-akar persamaan kuadrat. Diketahui persamaan kuadrat x^2 - 5x - 1 = 0, dengan akar-akar p dan q. Dari Vieta's formulas, kita tahu bahwa:

p + q = -(-5)/1 = 5

Dan

pq = -1/1 = -1

Sekarang, kita ingin mencari persamaan kuadrat baru dengan akar-akar baru, sebut saja $\alpha$ dan $\beta$, dimana:

$\alpha = 2p + 1$

$\beta = 2q + 1$

Untuk membentuk persamaan kuadrat baru, kita perlu mencari jumlah dan hasil kali dari akar-akar baru ini:

Jumlah akar-akar baru ($\alpha + \beta$):

$\alpha + \beta = (2p + 1) + (2q + 1)

$\alpha + \beta = 2p + 2q + 2

$\alpha + \beta = 2(p + q) + 2

Karena kita tahu p + q = 5, maka:

$\alpha + \beta = 2(5) + 2

$\alpha + \beta = 10 + 2

$\alpha + \beta = 12


Hasil kali akar-akar baru ($\alpha \beta$):

$\alpha \beta = (2p + 1)(2q + 1)

$\alpha \beta = 4pq + 2p + 2q + 1

$\alpha \beta = 4pq + 2(p + q) + 1

Karena kita tahu pq = -1 dan p + q = 5, maka:

$\alpha \beta = 4(-1) + 2(5) + 1

$\alpha \beta = -4 + 10 + 1

$\alpha \beta = 7

Persamaan kuadrat baru dapat dibentuk dengan rumus: $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$

Mengganti nilai jumlah dan hasil kali akar-akar yang telah kita hitung:

$x^2 - (12)x + 7 = 0$

$x^2 - 12x + 7 = 0$

Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah $x^2 - 12x + 7 = 0$.