Jika panjang garis singgung yang dibuat dari titik P(5,4)

Nilai a adalah -4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan rumus jarak dari titik ke lingkaran. Lingkaran diberikan oleh persamaan $x^2+y^2+2ax=0$. Bentuk standar persamaan lingkaran adalah $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, di mana $(h, k)$ adalah pusat dan $r$ adalah jari-jari.

Kita perlu mengubah persamaan lingkaran ke bentuk standar:
$x^2 + 2ax + y^2 = 0$
Tambahkan $(a)^2$ ke kedua sisi untuk melengkapi kuadrat pada suku x:
$x^2 + 2ax + a^2 + y^2 = a^2$
$(x + a)^2 + y^2 = a^2$

Dari bentuk standar ini, kita dapat melihat bahwa pusat lingkaran adalah $(-a, 0)$ dan jari-jarinya adalah $|a|$.

Jarak dari titik P($x_1$, $y_1$) ke pusat lingkaran $(h, k)$ adalah $d = \sqrt{(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2}$.
Dalam kasus ini, P adalah (5, 4), pusat lingkaran adalah $(-a, 0)$, dan jari-jari adalah $|a|$.

Panjang garis singgung dari titik P ke lingkaran sama dengan $\sqrt{d^2 - r^2}$, di mana $d$ adalah jarak dari titik P ke pusat lingkaran.

Jarak dari P(5, 4) ke pusat lingkaran $(-a, 0)$ adalah:
$d = \sqrt{(5 - (-a))^2 + (4 - 0)^2}$
$d = \sqrt{(5 + a)^2 + 4^2}$
$d = \sqrt{(5 + a)^2 + 16}$

Panjang garis singgung diberikan sebagai 1. Maka:
$1 = \sqrt{d^2 - r^2}$
$1^2 = d^2 - r^2$
$1 = [(5 + a)^2 + 16] - (a)^2$
$1 = (25 + 10a + a^2) + 16 - a^2$
$1 = 25 + 10a + 16$
$1 = 41 + 10a$

Sekarang, selesaikan untuk a:
$1 - 41 = 10a$
$-40 = 10a$
$a = -40 / 10$
$a = -4$

Jadi, nilai a adalah -4.