Jika suku banyak ax^3+2x^2+5x+b dibagi (x^2-1) menghasilkan

10

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan konsep pembagian suku banyak. Diketahui suku banyak $f(x) = ax^3+2x^2+5x+b$. Ketika dibagi oleh $(x^2-1)$, sisanya adalah $(6x+5)$.

Menurut teorema sisa, jika suku banyak $f(x)$ dibagi oleh $(x-c)$, maka sisanya adalah $f(c)$. Jika dibagi oleh pembagi kuadratik seperti $(x^2-1)$, kita bisa menggunakan metode pembagian bersusun atau substitusi nilai akar pembagi.

Pembagi $x^2-1$ dapat difaktorkan menjadi $(x-1)(x+1)$.

Menggunakan substitusi akar pembagi:
1. Ketika $f(x)$ dibagi $(x-1)$, sisa pembagiannya adalah $f(1)$. Karena pembaginya adalah $x^2-1$, kita bisa menganggap $x^2=1$ ketika mencari sisa.
   $f(x) = ax^3+2x^2+5x+b$
   $f(x) = ax(x^2)+2(x^2)+5x+b$
   Substitusikan $x^2=1$: $f(x) 
ightarrow ax(1)+2(1)+5x+b = ax+2+5x+b = (a+5)x + (2+b)$
   Sisa pembagian oleh $(x^2-1)$ adalah $(6x+5)$. Jadi, kita samakan koefisien dari hasil substitusi dengan sisa:
   $(a+5)x + (2+b) = 6x+5$
   Dari sini, kita dapatkan dua persamaan:
   Koefisien $x$: $a+5 = 6 
ightarrow a = 6-5 
ightarrow a = 1$
   Konstanta: $2+b = 5 
ightarrow b = 5-2 
ightarrow b = 3$

2. Untuk memverifikasi, kita bisa juga menggunakan akar $x=-1$. Pembagi $x^2-1 = 0$ memiliki akar $x=1$ dan $x=-1$.
   Jika $f(x)$ dibagi oleh $(x+1)$, sisanya adalah $f(-1)$.
   Substitusikan $x=-1$ ke $f(x)$:
   $f(-1) = a(-1)^3+2(-1)^2+5(-1)+b = -a+2-5+b = -a+b-3$
   Sisa pembagian adalah $6x+5$. Ketika $x=-1$, sisa adalah $6(-1)+5 = -6+5 = -1$.
   Jadi, $f(-1) = -1$.
   $-a+b-3 = -1$
   $-a+b = -1+3$
   $-a+b = 2$
   Substitusikan nilai $a=1$ dan $b=3$ yang kita dapatkan sebelumnya:
   $-(1)+(3) = -1+3 = 2$. Persamaan ini terpenuhi.

Sekarang kita perlu mencari nilai $a+3b$.
$a+3b = 1 + 3(3) = 1 + 9 = 10$.

Jadi, nilai $a+3b$ adalah 10.