Jika x^2-px+3p=0 mempunyai akar a dan b, tentukan nilai

-108

Pembahasan

Diketahui persamaan kuadrat x^2 - px + 3p = 0 mempunyai akar a dan b.
Menurut Vieta's formulas:
a + b = -(-p)/1 = p
a * b = 3p/1 = 3p

Kita ingin mencari nilai minimum dari a^3 + b^3.
Kita tahu bahwa a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).
Kita juga bisa menulis a^2 + b^2 sebagai (a + b)^2 - 2ab.
Jadi, a^3 + b^3 = (a + b)((a + b)^2 - 2ab - ab) = (a + b)((a + b)^2 - 3ab).

Substitusikan nilai a + b = p dan ab = 3p:
a^3 + b^3 = (p)(p^2 - 3(3p))
a^3 + b^3 = p(p^2 - 9p)
a^3 + b^3 = p^3 - 9p^2

Untuk mencari nilai minimum dari fungsi f(p) = p^3 - 9p^2, kita perlu mencari turunan pertama dan menyamakannya dengan nol.
f'(p) = 3p^2 - 18p

Samakan f'(p) dengan 0:
3p^2 - 18p = 0
3p(p - 6) = 0

Ini memberikan dua nilai kritis untuk p, yaitu p = 0 atau p = 6.

Untuk menentukan apakah nilai-nilai ini menghasilkan minimum atau maksimum, kita bisa menggunakan turunan kedua:
f''(p) = 6p - 18

Jika p = 0:
f''(0) = 6(0) - 18 = -18. Karena negatif, ini adalah titik maksimum.

Jika p = 6:
f''(6) = 6(6) - 18 = 36 - 18 = 18. Karena positif, ini adalah titik minimum.

Sekarang kita substitusikan nilai p = 6 ke dalam ekspresi a^3 + b^3:
a^3 + b^3 = (6)^3 - 9(6)^2
a^3 + b^3 = 216 - 9(36)
a^3 + b^3 = 216 - 324
a^3 + b^3 = -108

Namun, perlu diingat bahwa agar akar a dan b bernilai real, diskriminan (D) dari persamaan kuadrat harus non-negatif (D ≥ 0).
D = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4(1)(3p) = p^2 - 12p

Kita perlu p^2 - 12p ≥ 0
p(p - 12) ≥ 0
Ini berarti p ≤ 0 atau p ≥ 12.

Nilai p = 6 tidak memenuhi syarat ini, sehingga tidak menghasilkan akar real. Kita perlu mempertimbangkan batas dari domain p.

Untuk p ≤ 0, fungsi a^3 + b^3 = p^3 - 9p^2.
Turunan f'(p) = 3p(p-6). Pada domain p ≤ 0, f'(p) selalu positif (karena 3p negatif dan p-6 negatif, hasil kali positif), yang berarti fungsi terus meningkat.
Jadi, nilai minimum pada domain ini akan terjadi saat p mendekati 0 dari sisi negatif. Jika p mendekati 0, a^3 + b^3 mendekati 0.

Untuk p ≥ 12, kita juga perlu memeriksa nilai f'(p).
Pada p ≥ 12, p positif dan p-6 positif, sehingga f'(p) positif. Ini berarti fungsi terus meningkat.
Nilai minimum pada domain ini terjadi di p = 12.
Jika p = 12:
a^3 + b^3 = (12)^3 - 9(12)^2
a^3 + b^3 = 1728 - 9(144)
a^3 + b^3 = 1728 - 1296
a^3 + b^3 = 432

Membandingkan nilai minimum yang mungkin pada domain yang valid:
Saat p mendekati 0 (dari negatif), nilai a^3 + b^3 mendekati 0.
Saat p = 12, nilai a^3 + b^3 adalah 432.

Jika kita kembali ke analisis turunan f'(p) = 3p(p-6), titik kritisnya adalah 0 dan 6. Fungsi naik sebelum 0, turun antara 0 dan 6, dan naik setelah 6.
Karena domain kita adalah p ≤ 0 atau p ≥ 12, kita perlu melihat perilaku fungsi pada interval ini.

Pada p ≤ 0, fungsi naik. Nilai terendah terjadi saat p mendekati 0 dari kiri, yang memberikan nilai mendekati 0.

Pada p ≥ 12, fungsi naik. Nilai terendah terjadi di p = 12, yang memberikan nilai 432.

Namun, jika kita mengizinkan akar kompleks, maka nilai minimum terjadi pada p=6, yang menghasilkan -108.
Jika soal mengasumsikan akar real, maka nilai minimum adalah 0 (ketika p mendekati 0).
Jika kita mempertimbangkan kemungkinan bahwa 'nilai minimum' merujuk pada nilai lokal minimum dari fungsi a^3+b^3=p^3-9p^2 tanpa syarat akar real, maka nilai minimum adalah -108.

Asumsi umum dalam soal seperti ini adalah mencari nilai ekstrem dari ekspresi yang diberikan, terkadang tanpa persyaratan ketat pada akar kecuali jika disebutkan secara eksplisit. Jika kita mengasumsikan nilai minimum dari ekspresi p^3 - 9p^2, maka itu adalah -108.

Mari kita cek apakah ada kesalahan interpretasi. Jika p = 0, persamaan menjadi x^2 = 0, akarnya 0 dan 0. a^3+b^3 = 0^3+0^3 = 0. Ini konsisten.

Jika p=6, persamaan menjadi x^2 - 6x + 18 = 0. D = (-6)^2 - 4(1)(18) = 36 - 72 = -36 < 0. Akarnya kompleks.

Jika soal meminta nilai minimum tanpa syarat akar real, maka jawabannya adalah -108.
Jika soal mensyaratkan akar real, maka nilai minimum terjadi saat p mendekati 0 dari negatif, mendekati 0.

Karena soal tidak secara eksplisit menyebutkan akar real, kita akan berikan nilai minimum dari fungsi p^3 - 9p^2.

Nilai minimum dari a^3+b^3 adalah -108.