Tentukan nilai dari 3x^2y^2, jika x dan y adalah bilangan

588

Pembahasan

Kita perlu menentukan nilai dari 3x^2y^2, jika x dan y adalah bilangan bulat yang memenuhi persamaan y^2 + 3x^2y^2 = 30x^2 + 517.

Persamaan yang diberikan adalah:
y^2 + 3x^2y^2 = 30x^2 + 517

Kita bisa memfaktorkan y^2 dari dua suku pertama:
y^2(1 + 3x^2) = 30x^2 + 517

Sekarang, kita ingin mengisolasi y^2:
y^2 = (30x^2 + 517) / (1 + 3x^2)

Kita bisa memanipulasi pembilang agar memiliki faktor (1 + 3x^2):
30x^2 + 517 = 10(3x^2) + 517
Kita ingin memiliki 10(1 + 3x^2) = 10 + 30x^2.
Jadi, kita bisa menulis ulang pembilang sebagai:
30x^2 + 10 + 517 - 10 = 10(1 + 3x^2) + 507

Maka, persamaan untuk y^2 menjadi:
y^2 = (10(1 + 3x^2) + 507) / (1 + 3x^2)
y^2 = 10 + 507 / (1 + 3x^2)

Karena y adalah bilangan bulat, maka y^2 juga harus bilangan bulat. Ini berarti 507 / (1 + 3x^2) haruslah bilangan bulat.
Dengan kata lain, (1 + 3x^2) haruslah faktor dari 507.

Kita perlu mencari faktor-faktor dari 507.
507 = 3 * 169 = 3 * 13^2
Faktor-faktor dari 507 adalah: 1, 3, 13, 39, 169, 507.

Sekarang kita akan memeriksa setiap faktor untuk (1 + 3x^2), di mana x adalah bilangan bulat:

1. 1 + 3x^2 = 1
   3x^2 = 0
   x^2 = 0
   x = 0 (bilangan bulat)
   Jika x = 0, maka y^2 = 10 + 507 / 1 = 10 + 507 = 517. 517 bukan kuadrat sempurna, jadi y bukan bilangan bulat.

2. 1 + 3x^2 = 3
   3x^2 = 2
   x^2 = 2/3 (x bukan bilangan bulat)

3. 1 + 3x^2 = 13
   3x^2 = 12
   x^2 = 4
   x = 2 atau x = -2 (bilangan bulat)
   Jika x = 2 atau x = -2, maka y^2 = 10 + 507 / 13 = 10 + 39 = 49.
   y^2 = 49, maka y = 7 atau y = -7 (bilangan bulat).
   Ini adalah solusi yang valid.

4. 1 + 3x^2 = 39
   3x^2 = 38
   x^2 = 38/3 (x bukan bilangan bulat)

5. 1 + 3x^2 = 169
   3x^2 = 168
   x^2 = 56 (x bukan bilangan bulat)

6. 1 + 3x^2 = 507
   3x^2 = 506
   x^2 = 506/3 (x bukan bilangan bulat)

Satu-satunya kasus di mana x dan y adalah bilangan bulat adalah ketika x = ±2 dan y = ±7.

Kita perlu mencari nilai dari 3x^2y^2.
Menggunakan x^2 = 4 dan y^2 = 49:
3x^2y^2 = 3 * (4) * (49)
3x^2y^2 = 12 * 49
3x^2y^2 = 588

Jadi, nilai dari 3x^2y^2 adalah 588.