Jumlah deret geometri tak hingga adalah 6. Jika tiap suku

Suku pertama deret tersebut adalah 6/5.

Pembahasan

Misalkan deret geometri tak hingga adalah $a, ar, ar^2, ar^3, ...$. Jumlah deret tak hingga ini adalah $S = \frac{a}{1-r}$, di mana $|r| < 1$. Diketahui $S = 6$, sehingga $\frac{a}{1-r} = 6$.

Jika setiap suku dikuadratkan, deretnya menjadi $a^2, (ar)^2, (ar^2)^2, ...$ atau $a^2, a^2r^2, a^2r^4, ...$. Ini adalah deret geometri tak hingga baru dengan suku pertama $a^2$ dan rasio $r^2$. Jumlah deret baru ini adalah $S' = \frac{a^2}{1-r^2}$. Diketahui $S' = 4$, sehingga $\frac{a^2}{1-r^2} = 4$.

Kita memiliki dua persamaan:
1) $\frac{a}{1-r} = 6 
 2) \frac{a^2}{1-r^2} = 4$

Dari persamaan (1), $a = 6(1-r)$.
Substitusikan $a$ ke persamaan (2):
$\frac{(6(1-r))^2}{1-r^2} = 4$
$\frac{36(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 4$
$\frac{36(1-r)}{1+r} = 4$
$36(1-r) = 4(1+r)$
$36 - 36r = 4 + 4r$
$36 - 4 = 36r + 4r$
$32 = 40r$
$r = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$

Sekarang cari nilai $a$ menggunakan $a = 6(1-r)$:
$a = 6(1 - \frac{4}{5})$
$a = 6(\frac{1}{5})$
$a = \frac{6}{5}$

Jadi, suku pertama deret tersebut adalah $\frac{6}{5}$.