Lihat gambar di samping. Diketahui lingkaran

a. Kedua lingkaran bersinggungan luar karena P1P2 = r1 + r2 (6 = 4 + 2). b. Titik singgungnya adalah (7, 2).

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini, kita perlu menganalisis kedua persamaan lingkaran yang diberikan:
C1: x^2 + y^2 - 6x - 4y - 3 = 0
C2: x^2 + y^2 - 18x - 4y + 81 = 0

Langkah 1: Tentukan pusat dan jari-jari kedua lingkaran.
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, atau x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0, di mana pusatnya adalah (a, b) dan jari-jarinya adalah r.

Untuk C1: x^2 + y^2 - 6x - 4y - 3 = 0
- Pusat (a1, b1): -2a1 = -6 => a1 = 3; -2b1 = -4 => b1 = 2. Jadi, pusat C1 adalah P1(3, 2).
- Jari-jari r1: r1^2 = a1^2 + b1^2 - c = 3^2 + 2^2 - (-3) = 9 + 4 + 3 = 16. Jadi, r1 = akar(16) = 4.

Untuk C2: x^2 + y^2 - 18x - 4y + 81 = 0
- Pusat (a2, b2): -2a2 = -18 => a2 = 9; -2b2 = -4 => b2 = 2. Jadi, pusat C2 adalah P2(9, 2).
- Jari-jari r2: r2^2 = a2^2 + b2^2 - c = 9^2 + 2^2 - 81 = 81 + 4 - 81 = 4. Jadi, r2 = akar(4) = 2.

Langkah 2: Hitung jarak antara kedua pusat lingkaran (P1P2).
Jarak P1P2 = akar((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
P1P2 = akar((9 - 3)^2 + (2 - 2)^2)
P1P2 = akar(6^2 + 0^2)
P1P2 = akar(36)
P1P2 = 6

Langkah 3: Tentukan kondisi hubungan kedua lingkaran.
Kedua lingkaran bersinggungan luar jika jarak antara kedua pusatnya sama dengan jumlah jari-jarinya, yaitu P1P2 = r1 + r2.
Jumlah jari-jari = r1 + r2 = 4 + 2 = 6.
Karena P1P2 = 6 dan r1 + r2 = 6, maka P1P2 = r1 + r2.

a. Tunjukkan bahwa kedua lingkaran bersinggungan luar:
Ya, kedua lingkaran bersinggungan luar karena jarak antara pusat kedua lingkaran (6) sama dengan jumlah jari-jari kedua lingkaran (4 + 2 = 6).

b. Tentukan titik singgungnya:
Titik singgung (T) membagi garis yang menghubungkan kedua pusat (P1P2) secara internal dengan perbandingan r1:r2. Dalam kasus ini, r1 = 4 dan r2 = 2, sehingga perbandingannya adalah 4:2 atau 2:1.

Koordinat titik singgung T(x, y) dapat dihitung menggunakan rumus pembagian ruas garis:
T(x, y) = ( (m*x2 + n*x1) / (m+n), (m*y2 + n*y1) / (m+n) )
Di sini, m=r1=4, n=r2=2, P1=(x1, y1)=(3, 2), P2=(x2, y2)=(9, 2).

x = (4*9 + 2*3) / (4+2) = (36 + 6) / 6 = 42 / 6 = 7
y = (4*2 + 2*2) / (4+2) = (8 + 4) / 6 = 12 / 6 = 2

Jadi, titik singgung kedua lingkaran adalah (7, 2).

Petunjuk: Semua lingkaran berpusat di satu garis lurus. Kedua pusat lingkaran P1(3, 2) dan P2(9, 2) memiliki koordinat y yang sama, yang berarti kedua pusat terletak pada garis horizontal y=2. Hal ini konsisten dengan petunjuk bahwa pusat-pusat lingkaran berada pada satu garis lurus.