lim x->0 2/x^2-sin2x/x^2 tan x=...

Limit tidak ada (tak terhingga) karena adanya suku 2/x^2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit berikut: lim x->0 (2/x^2 - sin(2x)/x^2) * tan(x)

Pertama, kita sederhanakan ekspresi di dalam kurung:
2/x^2 - sin(2x)/x^2 = (2 - sin(2x)) / x^2

Sekarang, kita kalikan dengan tan(x):
lim x->0 [(2 - sin(2x)) / x^2] * tan(x)

Kita tahu bahwa tan(x) = sin(x) / cos(x). Jadi ekspresinya menjadi:
lim x->0 [(2 - sin(2x)) / x^2] * (sin(x) / cos(x))

Perhatikan bahwa ketika x mendekati 0, cos(x) mendekati 1. Jadi, kita bisa menyederhanakan menjadi:
lim x->0 (2 - sin(2x)) * sin(x) / x^2

Mari kita evaluasi pembilangnya saat x mendekati 0:
2 - sin(2*0) = 2 - sin(0) = 2 - 0 = 2

Dan penyebutnya:
x^2 mendekati 0.

Jadi, kita memiliki bentuk 2 * sin(x) / x^2.
Kita tahu bahwa lim x->0 sin(x)/x = 1.
Namun, di sini kita memiliki x^2 di penyebut.

Mari kita pisahkan limitnya:
lim x->0 [2 * sin(x) / x] * [1/x]
Ini akan menjadi 2 * 1 * (1/0), yang mengarah ke tak terhingga.

Ada kemungkinan ada kesalahan penulisan dalam soal, atau kita perlu menggunakan aturan L'Hopital lebih lanjut.

Mari kita coba pendekatan lain dengan menggunakan ekspansi deret Taylor untuk sin(2x) dan tan(x) di sekitar x=0:
sin(u) ≈ u - u^3/3! + ...
sin(2x) ≈ 2x - (2x)^3/6 + ...
tan(x) ≈ x + x^3/3 + ...

Substitusikan ke dalam ekspresi asli:
lim x->0 [2/x^2 - (2x - (2x)^3/6 + ...)/x^2] * (x + x^3/3 + ...)
lim x->0 [2/x^2 - 2x/x^2 + (8x^3)/6x^2 + ...] * (x + ...)
lim x->0 [2/x^2 - 2/x + 4x/3 + ...] * (x + ...)

Ini masih terlihat bermasalah karena adanya suku 2/x^2.

Mari kita asumsikan soalnya adalah:
lim x->0 [2 - sin(2x)] / [x^2 * tan(x)]

lim x->0 [2 - sin(2x)] / [x^2 * (sin(x)/cos(x))]

Kita tahu lim x->0 sin(2x)/(2x) = 1 dan lim x->0 sin(x)/x = 1.
Kita juga tahu lim x->0 tan(x)/x = 1.

Mari kita manipulasi ekspresi agar sesuai dengan limit standar:
lim x->0 [2 - sin(2x)] / [x^2 * tan(x)]

Jika kita substitusi x=0, kita mendapatkan (2 - 0) / (0 * 0) = 2/0, yang mengindikasikan hasil tak terhingga atau tidak terdefinisi.

Jika soalnya adalah lim x->0 [sin(2x) - 2] / [x^2 * tan(x)], maka hasil limitnya adalah -∞.

Jika soalnya adalah lim x->0 [2x - sin(2x)] / [x^2 * tan(x)], kita bisa gunakan L'Hopital.
Turunan pembilang: 2 - 2cos(2x)
Turunan penyebut: (2x tan(x)) + (x^2 sec^2(x))

lim x->0 [2 - 2cos(2x)] / [2x tan(x) + x^2 sec^2(x)]
Substitusi x=0: (2 - 2*1) / (0 + 0) = 0/0. Gunakan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang: 4sin(2x)
Turunan penyebut: (2 tan(x) + 2x sec^2(x)) + (2x sec^2(x) + x^2 * 2sec(x) * sec(x)tan(x))
= 2 tan(x) + 4x sec^2(x) + 2x^2 sec^2(x) tan(x)

lim x->0 [4sin(2x)] / [2 tan(x) + 4x sec^2(x) + 2x^2 sec^2(x) tan(x)]
Substitusi x=0: (0) / (0 + 0 + 0) = 0/0. Gunakan L'Hopital lagi.

Ini menjadi sangat rumit. Mari kita coba pendekatan substitusi langsung dengan identitas limit yang diketahui.
Kita tahu lim x->0 sin(ax)/ax = 1 dan lim x->0 tan(bx)/bx = 1.

lim x->0 2/x^2 - sin(2x)/x^2 tan x
= lim x->0 (2 - sin(2x)) / x^2 * tan x
= lim x->0 (2 - sin(2x)) / (x^2 * sin(x) / cos(x))
= lim x->0 (2 - sin(2x)) * cos(x) / (x^2 * sin(x))

Kita bisa menulis ulang ini sebagai:
= lim x->0 [cos(x) * (2 - sin(2x))] / [x * sin(x) * x]

Kita tahu lim x->0 cos(x) = 1.
Kita tahu lim x->0 sin(2x) = 0.

Jadi pembilangnya mendekati 1 * (2 - 0) = 2.

Penyebutnya adalah lim x->0 x * sin(x) * x = lim x->0 x^2 * sin(x).

Karena lim x->0 sin(x)/x = 1, kita bisa menulis sin(x) = x * (sin(x)/x).
Jadi penyebutnya adalah lim x->0 x^2 * (x * sin(x)/x) = lim x->0 x^3 * (sin(x)/x).

lim x->0 x^3 * (sin(x)/x) = lim x->0 x^3 * 1 = 0.

Jadi kita memiliki bentuk 2/0.

Jika kita melihat soal asli lagi: lim x->0 2/x^2-sin2x/x^2 tan x
Ada kemungkinan tanda kurang di tengah seharusnya adalah perkalian atau tanda tambah.

Jika soalnya adalah lim x->0 (2/x^2) * (sin(2x)/x^2) * tan x, hasilnya akan berbeda.
Jika soalnya adalah lim x->0 (2/x^2) + (sin(2x)/x^2) * tan x, hasilnya akan berbeda.

Berdasarkan format penulisan, tampaknya ekspresi pertama adalah 2/x^2 dan ekspresi kedua adalah sin(2x)/x^2, dan keduanya dikurangi, lalu dikalikan dengan tan x.

Mari kita gunakan manipulasi lain:
lim x->0 (2 - sin(2x)) / x^2 * tan x
= lim x->0 (2 - sin(2x)) / x^2 * (sin x / cos x)
= lim x->0 (2 - sin(2x)) * cos x / (x^2 * sin x)

Kita tahu bahwa untuk x mendekati 0, sin(x) ≈ x dan cos(x) ≈ 1 dan sin(2x) ≈ 2x.
Jadi, limitnya mendekati:
(2 - 2x) * 1 / (x^2 * x)
= (2 - 2x) / x^3

Ketika x mendekati 0 dari sisi positif, x^3 positif. Pembilangnya mendekati 2. Maka hasilnya adalah +∞.
Ketika x mendekati 0 dari sisi negatif, x^3 negatif. Pembilangnya mendekati 2. Maka hasilnya adalah -∞.

Karena limit dari sisi kiri dan kanan berbeda, maka limitnya tidak ada.

Namun, seringkali dalam soal seperti ini ada penyesuaian agar hasilnya terdefinisi.
Jika kita menganggap ada kesalahan ketik dan soalnya adalah:
lim x->0 [2 - cos(2x)] / [x^2 * tan(x)]

Gunakan L'Hopital:
lim x->0 [2sin(2x)] / [2x tan(x) + x^2 sec^2(x)]
Substitusi x=0: (0)/(0) = 0/0. Gunakan L'Hopital lagi.
lim x->0 [4cos(2x)] / [2 tan(x) + 2x sec^2(x) + 2x sec^2(x) + x^2 * 2sec^2(x)tan(x)]
= lim x->0 [4cos(2x)] / [2 tan(x) + 4x sec^2(x) + 2x^2 sec^2(x) tan(x)]
Substitusi x=0: (4*1) / (0 + 0 + 0) = 4/0. Masih tak terhingga.

Mari kita coba asumsi lain dari penulisan soal:
lim x->0 (2/x^2) - (sin(2x)/x^2) * tan(x)
= lim x->0 2/x^2 - (sin(2x) * tan(x)) / x^2
= lim x->0 [2 - sin(2x) * tan(x)] / x^2

Evaluasi pembilang saat x -> 0: 2 - sin(0) * tan(0) = 2 - 0 * 0 = 2.
Penyebut saat x -> 0: x^2 -> 0.

Jadi, limitnya adalah 2/0, yang berarti limitnya tidak ada (tak terhingga).

Kesimpulan berdasarkan penulisan soal yang diberikan, limitnya tidak terdefinisi atau bernilai tak terhingga karena adanya suku 2/x^2 yang tidak dapat dihilangkan oleh suku lainnya saat x mendekati 0.

Jika kita harus memberikan jawaban numerik, kemungkinan besar ada kesalahan dalam penulisan soal. Namun, jika kita harus menjawab sesuai soal:

lim x->0 [2/x^2 - sin(2x)/x^2] * tan(x)
= lim x->0 [2 - sin(2x)]/x^2 * tan(x)
= lim x->0 [2 - (2x - (2x)^3/6 + ...)] / x^2 * (x + x^3/3 + ...)
= lim x->0 [2 - 2x + 4x^3/3 + ...] / x^2 * (x + x^3/3 + ...)
= lim x->0 [2/x^2 - 2/x + 4x/3 + ...] * (x + x^3/3 + ...)
= lim x->0 [2/x^2 * x] + [-2/x * x] + [4x/3 * x] + ...
= lim x->0 [2/x] - 2 + 4x^2/3 + ...

Saat x -> 0, suku 2/x akan menuju tak terhingga. Maka limitnya tidak ada.