lim _(x -> 0)[(3-3 cos 2 x)/(sin ^(2) 3 x)]=..

Nilai limit adalah 2/3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Limit yang diberikan adalah:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{3 - 3 \cos 2x}{\sin^2 3x}$

Kita dapat memfaktorkan 3 dari pembilang:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{3(1 - \cos 2x)}{\sin^2 3x}$

Menggunakan identitas trigonometri $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{3(2 \sin^2 x)}{\sin^2 3x}$
$L = \lim_{x \to 0} \frac{6 \sin^2 x}{\sin^2 3x}$

Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$. Oleh karena itu, $\sin ax \approx ax$ untuk $x$ mendekati 0.
Maka, $\sin^2 x \approx x^2$ dan $\sin^2 3x \approx (3x)^2 = 9x^2$ untuk $x$ mendekati 0.

Substitusikan pendekatan ini ke dalam limit:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{6 x^2}{9 x^2}$

Batalkan $x^2$ dari pembilang dan penyebut:
$L = \frac{6}{9}$
$L = \frac{2}{3}$

Alternatif menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya 0/0:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{3(1 - \cos 2x)}{\sin^2 3x}$
Turunkan pembilang: $3(0 - (-2 
sen 2x)) = 6 
sen 2x$
Turunkan penyebut: $2 
sen 3x 
achos 3x 	imes 3 = 6 
sen 3x 
achos 3x$

$L = \lim_{x \to 0} \frac{6 
sen 2x}{6 
sen 3x 
achos 3x}$
Bentuknya masih 0/0, terapkan L'Hopital lagi:
Turunkan pembilang: $6(2 
achos 2x) = 12 
achos 2x$
Turunkan penyebut: $6(3 
achos 3x 
achos 3x + 
sen 3x (-3 
sen 3x)) = 18 
achos^2 3x - 18 
sen^2 3x$

$L = \lim_{x \to 0} \frac{12 
achos 2x}{18 
achos^2 3x - 18 
sen^2 3x}$
Gunakan $\nachos 0 = 1$ dan $\nsen 0 = 0$:
$L = \frac{12(1)}{18(1)^2 - 18(0)^2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$