lim x->0 (3 sin 1/2x)/(1/3x)= ...

Nilai limitnya adalah 9/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan substitusi langsung atau manipulasi aljabar.

lim x->0 (3 sin 1/2x) / (1/3x)

Kita bisa memisahkan konstanta:
= 3 * lim x->0 (sin 1/2x) / (1/3x)

Untuk menggunakan sifat limit sin(u)/u = 1 ketika u mendekati 0, kita perlu membuat penyebutnya sama dengan argumen sinus (1/2x).

Kalikan dan bagi dengan 1/2 di dalam argumen sinus, dan sesuaikan penyebutnya:
= 3 * lim x->0 (sin 1/2x) / (1/2x * 2) * (1/3x)
= 3 * lim x->0 (sin 1/2x) / (1/2x) * (1/2) * (1/3x)

Ini menjadi rumit. Mari kita coba cara lain dengan menyamakan penyebut:

Kita ingin memiliki bentuk (sin u) / u. Di sini u = 1/2x.
Jadi kita perlu penyebut menjadi 1/2x.

lim x->0 (3 sin 1/2x) / (1/3x)

Kalikan pembilang dan penyebut dengan 3:
= lim x->0 (3 * 3 * sin 1/2x) / (3 * 1/3x)
= lim x->0 (9 * sin 1/2x) / (x)

Sekarang kalikan pembilang dan penyebut dengan 1/2:
= lim x->0 (9 * 1/2 * sin 1/2x) / (1/2 * x)
= lim x->0 (9/2 * sin 1/2x) / (1/2x)

Kita tahu bahwa lim u->0 (sin u)/u = 1. Di sini u = 1/2x.
Jadi,
= 9/2 * lim x->0 (sin 1/2x) / (1/2x)
= 9/2 * 1
= 9/2

Jadi, nilai limitnya adalah 9/2.