lim x->0 cos 2x-1/x^2 =

-2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena saat x mendekati 0, bentuk limit ini adalah $\frac{0}{0}$.
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka limit tersebut sama dengan $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit yang kedua ada.

Dalam kasus ini, $f(x) = \cos(2x) - 1$ dan $g(x) = x^2$.
Turunan pertama dari $f(x)$ adalah $f'(x) = -2\sin(2x)$.
Turunan pertama dari $g(x)$ adalah $g'(x) = 2x$.

Maka, limitnya menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin(2x)}{2x}$.

Bentuk ini masih $\frac{0}{0}$, jadi kita bisa menggunakan aturan L'Hopital lagi.
Turunan kedua dari $f(x)$ (yaitu turunan dari $-2\sin(2x)$) adalah $f''(x) = -4\cos(2x)$.
Turunan kedua dari $g(x)$ (yaitu turunan dari $2x$) adalah $g''(x) = 2$.

Maka, limitnya menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{-4\cos(2x)}{2}$.

Sekarang kita substitusikan $x=0$:
$\frac{-4\cos(0)}{2} = \frac{-4(1)}{2} = -2$.

Jadi, $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2} = -2$.