lim _(x -> 0) (sin ^(2) (1)/(3) x tan 2 x)/(tan (1)/(9)

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Limit yang diberikan adalah: lim (x -> 0) [sin^2(1/3)x * tan(2x)] / [tan(1/9)x * (1 - cos^2(2x))]

Kita tahu bahwa 1 - cos^2(theta) = sin^2(theta).
Maka, 1 - cos^2(2x) = sin^2(2x).

Sehingga, limitnya menjadi: lim (x -> 0) [sin^2(1/3)x * tan(2x)] / [tan(1/9)x * sin^2(2x)]

Kita juga tahu bahwa untuk x yang mendekati 0, sin(kx) mendekati kx dan tan(kx) mendekati kx.

Mengganti sin dan tan dengan aproksimasinya:
sin(1/3)x ≈ (1/3)x
sin^2(1/3)x ≈ ((1/3)x)^2 = (1/9)x^2
tan(2x) ≈ 2x
tan(1/9)x ≈ (1/9)x
sin(2x) ≈ 2x
sin^2(2x) ≈ (2x)^2 = 4x^2

Substitusikan aproksimasi ini ke dalam limit:
lim (x -> 0) [(1/9)x^2 * 2x] / [(1/9)x * 4x^2]
lim (x -> 0) [(1/9) * 2 * x^3] / [(1/9) * 4 * x^3]

Kita bisa membatalkan x^3 dan (1/9) dari pembilang dan penyebut:
lim (x -> 0) 2 / 4
= 2 / 4
= 1 / 2

Jadi, nilai limitnya adalah 1/2.