lim _(x -> 0) (tan x sin x)/(x^(3))=

Limit tidak ada

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit `lim (tan x sin x)/(x^3)` saat `x` mendekati 0, kita bisa menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit.

Kita tahu bahwa `sin x / x` mendekati 1 saat `x` mendekati 0.
Kita juga tahu bahwa `tan x = sin x / cos x`.

Jadi, ekspresi limitnya menjadi:
`lim (sin x / cos x) * (sin x) / x^3` saat `x` mendekati 0

Kita bisa mengatur ulang ekspresi ini menjadi:
`lim (sin x / x) * (sin x / x^2) * (1 / cos x)` saat `x` mendekati 0

Atau lebih baik lagi, kita bisa menulisnya sebagai:
`lim (sin x / x) * (sin x / x) * (1 / x) * (1 / cos x)` saat `x` mendekati 0

Mari kita coba cara lain dengan mengalikan dan membagi dengan `x`:
`lim (tan x * sin x) / x^3`
`= lim (sin x / cos x) * sin x / x^3`
`= lim (sin^2 x) / (x^3 * cos x)`

Kita bisa memisahkan menjadi:
`= lim (sin x / x) * (sin x / x) * (1 / x) * (1 / cos x)`

Kita tahu bahwa `lim (sin x / x)` saat `x` mendekati 0 adalah 1.
Kita juga tahu bahwa `lim (1 / cos x)` saat `x` mendekati 0 adalah `1 / cos 0 = 1 / 1 = 1`.

Namun, kita masih memiliki suku `1 / x` yang akan menuju tak hingga saat `x` mendekati 0.

Mari kita periksa kembali soalnya. Mungkin ada kesalahan pengetikan atau ekspresinya perlu diubah sedikit.

Jika soalnya adalah `lim (tan x * sin x) / x^2`, maka:
`lim (sin x / cos x) * sin x / x^2`
`= lim (sin x / x) * (sin x / x) * (1 / cos x)`
`= 1 * 1 * 1 = 1`

Namun, jika soalnya persis seperti yang tertulis, `lim (tan x sin x) / x^3`, maka:
`lim (sin x / cos x) * sin x / x^3`
`= lim (sin^2 x) / (x^3 * cos x)`
Kita bisa tulis `sin^2 x` sebagai `x^2 * (sin x / x)^2`.

Sehingga limitnya menjadi:
`lim x^2 * (sin x / x)^2 / (x^3 * cos x)`
`= lim (sin x / x)^2 / (x * cos x)`
Saat `x` mendekati 0, `(sin x / x)^2` mendekati `1^2 = 1`.
Saat `x` mendekati 0, `cos x` mendekati 1.
Sehingga limitnya menjadi `lim 1 / (x * 1) = lim 1 / x`.

Limit dari `1 / x` saat `x` mendekati 0 dari sisi positif adalah +tak hingga, dan dari sisi negatif adalah -tak hingga. Karena kedua sisi tidak sama, maka limitnya tidak ada.

Asumsi lain: Jika soalnya adalah `lim (tan x^2) / x^2` atau `lim (sin x^2) / x^2`, maka limitnya adalah 1.

Jika soalnya adalah `lim (tan x - sin x) / x^3`:
Kita bisa menggunakan ekspansi deret Taylor untuk tan x dan sin x di sekitar x=0:
tan x = x + x^3/3 + ...
sin x = x - x^3/6 + ...

tan x - sin x = (x + x^3/3) - (x - x^3/6) = x^3/3 + x^3/6 = (2x^3 + x^3)/6 = 3x^3/6 = x^3/2

Maka, `lim (x^3/2) / x^3 = 1/2`.

Dengan asumsi soal yang diberikan adalah `lim (tan x sin x)/(x^3)`, mari kita coba manipulasi aljabar lagi:
`lim (tan x sin x) / x^3 = lim (sin x / cos x) * (sin x / x^3)`
`= lim (sin x / x) * (sin x / x^2) * (1 / cos x)`
Kita tahu `lim (sin x / x) = 1` dan `lim (1 / cos x) = 1`.
Namun, kita punya `sin x / x^2` yang perilakunya adalah `x / x^2 = 1/x` saat x mendekati 0.
Jadi, limitnya menjadi `1 * (lim 1/x) * 1 = lim 1/x`.

Limit `1/x` saat x mendekati 0 tidak terdefinisi (pendekatan dari kanan memberikan +tak hingga, dari kiri memberikan -tak hingga).

Kesimpulan berdasarkan soal yang tertulis: Limit tersebut tidak ada.

Namun, dalam konteks soal ujian, seringkali ada kesalahan pengetikan. Jika maksud soal adalah mencari nilai yang mendekati suatu konstanta, kemungkinan besar ekspresinya berbeda. Jika kita menganggap ada kesalahan dan soalnya seharusnya menghasilkan nilai tertentu, beberapa kemungkinan modifikasi dan hasilnya:
1. `lim (tan x sin x) / x^2 = 1`
2. `lim (tan x - sin x) / x^3 = 1/2`

Berdasarkan format soal yang umum, kemungkinan besar soal yang dimaksud adalah salah satu dari variasi di atas atau ada kesalahan dalam penulisan pangkatnya.

Jika harus menjawab berdasarkan persis apa yang tertulis: `lim (tan x sin x) / x^3`, maka jawabannya adalah limit tidak ada.