lim x -> tak hingga) ((a-3) x^3+b x^c+4 x+1)/(3 x^2-5

abc = 24

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami sifat limit fungsi rasional ketika x mendekati tak hingga. Jika derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut, maka limitnya adalah tak hingga atau negatif tak hingga. Jika derajat pembilang sama dengan derajat penyebut, maka limitnya adalah perbandingan koefisien suku dengan pangkat tertinggi. Jika derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut, maka limitnya adalah 0.

Dalam soal ini, hasil limitnya adalah 4/3, yang merupakan nilai terhingga. Ini berarti derajat pembilang harus sama dengan derajat penyebut.

lim (x -> tak hingga) ((a-3) x^3+b x^c+4 x+1)/(3 x^2-5 x+2)=4/3

Agar limitnya terhingga, maka koefisien dari x^3 di pembilang harus nol, sehingga (a-3) = 0, yang berarti a = 3. Namun, jika a=3, maka suku x^3 hilang dan kita perlu membandingkan derajat tertinggi yang tersisa.

Jika kita asumsikan bahwa c adalah derajat tertinggi di pembilang setelah suku x^3 dihilangkan, dan agar limitnya terhingga, derajat penyebut harus sama dengan derajat pembilang. Derajat penyebut adalah 2.

Jadi, kita perlu mempertimbangkan dua kemungkinan:
1. Derajat pembilang setelah suku x^3 dihilangkan adalah 2. Ini berarti c = 2. Maka, kita membandingkan koefisien x^2:
b/3 = 4/3. Dari sini, b = 4.
Dalam kasus ini, a = 3, b = 4, dan c = 2. Maka, abc = 3 * 4 * 2 = 24.

2. Jika c < 2, maka derajat tertinggi di pembilang adalah 2 (dari suku 4x). Namun, jika derajat pembilang lebih kecil dari penyebut, limitnya akan menjadi 0, bukan 4/3. Jadi, kasus ini tidak mungkin.

Mari kita periksa kembali jika derajat pembilang adalah 3. Jika a-3 tidak nol, maka agar limitnya terhingga, penyebut juga harus memiliki derajat 3. Tetapi penyebut memiliki derajat 2. Jadi, a-3 harus 0.

Jika a-3 = 0, maka a = 3. Persamaan menjadi:
lim (x -> tak hingga) (b x^c + 4 x + 1) / (3 x^2 - 5 x + 2) = 4/3

Agar limitnya 4/3, derajat tertinggi di pembilang harus sama dengan derajat penyebut, yaitu 2. Maka, c harus sama dengan 2.
lim (x -> tak hingga) (b x^2 + 4 x + 1) / (3 x^2 - 5 x + 2) = 4/3

Dalam kasus ini, perbandingan koefisien dari x^2 adalah b/3.
Jadi, b/3 = 4/3, yang menghasilkan b = 4.

Dengan demikian, kita memiliki a = 3, b = 4, dan c = 2.
Nilai abc = 3 * 4 * 2 = 24.