Limas T.ABC diketahui segitiga ABC siku-siku di A, garis TA

Jarak titik A ke bidang TBC adalah 10√3 / 3 cm.

Pembahasan

Untuk mencari jarak titik A ke bidang TBC pada limas T.ABC:

Diketahui:
- Limas T.ABC
- Segitiga ABC siku-siku di A
- Garis TA tegak lurus AC dan AB
- Panjang TA = AB = AC = 10 cm

Karena TA tegak lurus AC dan AB, maka TA tegak lurus terhadap bidang ABC. Ini berarti TA adalah tinggi limas terhadap alas ABC.

Kita perlu mencari jarak dari titik A ke bidang TBC.

Perhatikan segitiga TBC. Segitiga TBC adalah segitiga sama kaki karena TB = TC. Kita dapat menghitung panjang TB dan TC menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku TAB dan TAC.

Pada segitiga TAB (siku-siku di A):
TB² = TA² + AB²
TB² = 10² + 10²
TB² = 100 + 100
TB² = 200
TB = √200 = 10√2 cm

Pada segitiga TAC (siku-siku di A):
TC² = TA² + AC²
TC² = 10² + 10²
TC² = 100 + 100
TC² = 200
TC = √200 = 10√2 cm

Jadi, TB = TC = 10√2 cm.

Sekarang kita perlu mencari jarak dari titik A ke bidang TBC. Kita bisa menggunakan konsep volume limas. Volume limas T.ABC dapat dihitung dengan dua cara:
1.  Sebagai limas dengan alas ABC dan tinggi TA.
    Volume = (1/3) * Luas Alas ABC * Tinggi TA
    Luas alas ABC = (1/2) * AB * AC = (1/2) * 10 * 10 = 50 cm²
    Volume = (1/3) * 50 * 10 = 500/3 cm³

2.  Sebagai limas dengan alas TBC dan tinggi dari A ke bidang TBC (jarak yang kita cari).
    Misalkan jarak dari A ke bidang TBC adalah h.
    Volume = (1/3) * Luas Alas TBC * h

Kita perlu mencari luas segitiga TBC.
Untuk mencari luas segitiga TBC, kita perlu tinggi segitiga TBC dari titik T ke sisi BC. Namun, ini akan lebih rumit. Cara yang lebih mudah adalah dengan mencari jarak dari A ke bidang TBC secara langsung menggunakan vektor atau dengan proyeksi.

Alternatif lain, kita bisa memvisualisasikan bidang TBC. Titik A berada pada sudut siku-siku alas.

Mari kita gunakan metode proyeksi atau mencari luas segitiga TBC terlebih dahulu.

Misalkan M adalah titik tengah BC. Dalam segitiga sama kaki TBC, TM adalah tinggi dari T ke BC.
Panjang BC = √(AB² + AC²) = √(10² + 10²) = √200 = 10√2 (karena ABC siku-siku di A).

Dalam segitiga ABC, M adalah titik tengah BC. Segitiga ABM dan ACM adalah segitiga siku-siku jika AM adalah garis tinggi. Namun, AM bukan garis tinggi di sini, tetapi garis berat.

Kembali ke segitiga TBC:
TB = TC = 10√2, BC = 10√2.
Jadi, segitiga TBC adalah segitiga sama sisi.

Luas segitiga TBC (karena sama sisi dengan sisi 10√2):
Luas TBC = (√3 / 4) * sisi²
Luas TBC = (√3 / 4) * (10√2)²
Luas TBC = (√3 / 4) * 200
Luas TBC = 50√3 cm²

Sekarang kita samakan volume:
Volume = (1/3) * Luas Alas ABC * Tinggi TA
500/3 = (1/3) * Luas TBC * h
500/3 = (1/3) * 50√3 * h

Kalikan kedua sisi dengan 3:
500 = 50√3 * h

h = 500 / (50√3)
h = 10 / √3

Rationalize the denominator:
h = (10 * √3) / (√3 * √3)
h = 10√3 / 3 cm

Jadi, jarak titik A ke bidang TBC adalah 10√3 / 3 cm.