limit a->0 (cos (ma) - cos (na))/(a^2) = ....

Hasil limitnya adalah (n² - m²) / 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan a = 0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0 (cos(0) - cos(0))/0 = (1 - 1)/0 = 0/0.

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika limit menghasilkan bentuk tak tentu, kita dapat mengambil turunan dari pembilang dan penyebut secara terpisah.

Misalkan f(a) = cos(ma) - cos(na) dan g(a) = a².

Turunan pertama:
f'(a) = turunan dari (cos(ma) - cos(na)) = -m sin(ma) - (-n sin(na)) = -m sin(ma) + n sin(na)
g'(a) = turunan dari a² = 2a

Jadi, limitnya menjadi: limit a->0 (-m sin(ma) + n sin(na)) / (2a)

Jika kita substitusikan a = 0 lagi, kita masih mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Kita gunakan Aturan L'Hopital lagi:
Turunan kedua:
f''(a) = turunan dari (-m sin(ma) + n sin(na)) = -m(m cos(ma)) + n(n cos(na)) = -m² cos(ma) + n² cos(na)
g''(a) = turunan dari 2a = 2

Jadi, limitnya menjadi: limit a->0 (-m² cos(ma) + n² cos(na)) / 2

Sekarang, substitusikan a = 0:
(-m² cos(m*0) + n² cos(n*0)) / 2
(-m² cos(0) + n² cos(0)) / 2
(-m² * 1 + n² * 1) / 2
(n² - m²) / 2

Jadi, limit a->0 (cos (ma) - cos (na))/(a^2) adalah (n² - m²) / 2.