limit x -> 0 (1-cos 2x)/x^2=...

Hasil limit adalah 2.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri saat x mendekati 0.
Limit yang perlu dihitung adalah: lim (x→0) (1 - cos 2x) / x^2

Kita bisa menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan pembilang. Salah satu identitas untuk cos 2x adalah cos 2x = 1 - 2sin^2(x).

Mengganti identitas ke dalam limit:
lim (x→0) (1 - (1 - 2sin^2(x))) / x^2
lim (x→0) (1 - 1 + 2sin^2(x)) / x^2
lim (x→0) (2sin^2(x)) / x^2

Kita bisa memisahkan konstanta dan menggunakan sifat limit:
2 * lim (x→0) (sin^2(x) / x^2)
2 * lim (x→0) (sin(x)/x * sin(x)/x)

Kita tahu bahwa limit standar lim (x→0) sin(x)/x = 1.
Maka, limitnya menjadi:
2 * (lim (x→0) sin(x)/x) * (lim (x→0) sin(x)/x)
2 * (1) * (1)
2

Alternatif lain adalah menggunakan aturan L'Hôpital karena jika kita substitusikan x=0 langsung, kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Turunkan pembilang (1 - cos 2x) terhadap x: d/dx (1 - cos 2x) = -(-sin 2x) * 2 = 2sin 2x.
Turunkan penyebut (x^2) terhadap x: d/dx (x^2) = 2x.

Jadi, limitnya menjadi: lim (x→0) (2sin 2x) / (2x)
Sederhanakan menjadi: lim (x→0) sin 2x / x

Kita masih mendapatkan bentuk tak tentu 0/0 jika disubstitusikan x=0. Terapkan aturan L'Hôpital lagi.

Turunkan pembilang (sin 2x) terhadap x: d/dx (sin 2x) = cos 2x * 2 = 2cos 2x.
Turunkan penyebut (x) terhadap x: d/dx (x) = 1.

Jadi, limitnya menjadi: lim (x→0) (2cos 2x) / 1
Sekarang substitusikan x = 0:
2cos(2*0) / 1
2cos(0) / 1
2 * 1 / 1
2

Kedua metode memberikan hasil yang sama.