limit x->0 x{1-sin(x- pi/2)}cot(2x-pi)=...

Nilai limitnya adalah 1.

Pembahasan

Kita diminta untuk mengevaluasi limit:
lim (x→0) x{1 - sin(x - π/2)} cot(2x - π)

Mari kita sederhanakan ekspresi di dalam limit.

1. Ubah bentuk sin(x - π/2):
Kita tahu bahwa sin(θ - π/2) = -cos(θ).
Maka, sin(x - π/2) = -cos(x).

Sehingga, 1 - sin(x - π/2) = 1 - (-cos(x)) = 1 + cos(x).

2. Ubah bentuk cot(2x - π):
Kita tahu bahwa cot(θ - π) = cot(θ).
Atau, cot(θ - π) = cot(-(π - θ)) = -cot(π - θ) = -(-cot(θ)) = cot(θ).
Ini tidak benar. Gunakan sifat periodik atau pergeseran:
cot(A - π) = cot(A) karena cotangens memiliki periode π.
Jadi, cot(2x - π) = cot(2x).

3. Substitusikan kembali ke dalam limit:
lim (x→0) x{1 + cos(x)} cot(2x)

4. Tulis ulang cot(2x) sebagai cos(2x)/sin(2x):
lim (x→0) x * (1 + cos(x)) * (cos(2x) / sin(2x))

5. Kelompokkan suku-suku untuk menggunakan limit standar:
lim (x→0) [x / sin(2x)] * (1 + cos(x)) * cos(2x)

Kita tahu limit standar:
lim (θ→0) sin(θ)/θ = 1, atau lim (θ→0) θ/sin(θ) = 1.
Untuk lim (x→0) x/sin(2x), kita bisa memanipulasinya:
lim (x→0) (1/2) * (2x / sin(2x)) = (1/2) * 1 = 1/2.

Sekarang evaluasi bagian lainnya saat x→0:
* (1 + cos(x)) → 1 + cos(0) = 1 + 1 = 2.
* cos(2x) → cos(0) = 1.

6. Kalikan hasil dari setiap bagian:
Limit = (1/2) * 2 * 1
Limit = 1.

Jadi, nilai limitnya adalah 1.