limit x mendekati pi/2 (2(x-pi)cos^2

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita akan menggunakan substitusi dan identitas trigonometri.

limit x mendekati pi/2 (2(x-pi)cos^2 x)/(pi(pi-2x)tan(x-pi/2))

Misalkan y = x - pi/2. Maka ketika x mendekati pi/2, y mendekati 0. Juga, x = y + pi/2.
Substitusikan x ke dalam persamaan:

limit y mendekati 0 (2(y + pi/2 - pi)cos^2(y + pi/2))/(pi(pi - 2(y + pi/2))tan(y))

Kita tahu bahwa cos(y + pi/2) = -sin(y) dan tan(y) = sin(y)/cos(y).
Substitusikan identitas ini:

limit y mendekati 0 (2(y - pi/2)(-sin(y))^2)/(pi(pi - 2y - pi)sin(y)/cos(y))

limit y mendekati 0 (2(y - pi/2)(sin^2 y))/(pi(-2y)sin(y)/cos(y))

Sederhanakan persamaan:

limit y mendekati 0 (-2(pi/2 - y)sin^2 y)/(-2piy sin(y)/cos(y))

limit y mendekati 0 ((pi/2 - y)sin^2 y)/(piy sin(y)/cos(y))

limit y mendekati 0 ((pi/2 - y)sin y cos y)/(piy)

Kita bisa memisahkan limitnya:

limit y mendekati 0 (pi/2 - y) * limit y mendekati 0 (sin y / y) * limit y mendekati 0 (cos y / pi)

Kita tahu bahwa limit y mendekati 0 (sin y / y) = 1.

(pi/2 - 0) * 1 * (cos(0) / pi)

(pi/2) * 1 * (1 / pi)

pi/2pi

1/2

Jadi, nilai limitnya adalah 1/2.