Lingkaran P dengan persamaan x^2+y^2=4x dan lingkaran Q

Lingkaran P dan Q bersinggungan di luar karena jarak kedua pusatnya sama dengan jumlah jari-jarinya (6 = 2+4). Titik singgungnya adalah (2, 2).

Pembahasan

Untuk menentukan apakah kedua lingkaran bersinggungan dan mencari titik singgungnya, kita perlu menganalisis persamaan dan informasi yang diberikan.

**Lingkaran P:**
Persamaan: x^2 + y^2 = 4x
Untuk mencari pusat dan jari-jari lingkaran P, kita ubah persamaannya ke bentuk standar (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.

x^2 - 4x + y^2 = 0
Tambahkan (4/2)^2 = 4 ke kedua sisi untuk melengkapi kuadrat:
(x^2 - 4x + 4) + y^2 = 4
(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 4

Jadi, pusat lingkaran P adalah P(2, 0) dan jari-jarinya (r_P) adalah √4 = 2 satuan.

**Lingkaran Q:**
Pusat: Q(2, 6)
Diameter = 8 satuan, sehingga jari-jari (r_Q) = 8 / 2 = 4 satuan.

**a. Menunjukkan bahwa lingkaran P dan Q bersinggungan:**
Dua lingkaran dikatakan bersinggungan jika jarak antara kedua pusatnya sama dengan jumlah atau selisih jari-jari mereka.

Jarak antara pusat P(2, 0) dan Q(2, 6) dihitung menggunakan rumus jarak:
d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
d = √[(2 - 2)² + (6 - 0)²]
d = √[0² + 6²]
d = √36
d = 6

Jumlah jari-jari: r_P + r_Q = 2 + 4 = 6
Selisih jari-jari: |r_P - r_Q| = |2 - 4| = |-2| = 2

Karena jarak antara pusat kedua lingkaran (d = 6) sama dengan jumlah jari-jari mereka (r_P + r_Q = 6), maka kedua lingkaran tersebut bersinggungan di luar.

**b. Menentukan koordinat titik singgungnya:**
Karena kedua lingkaran bersinggungan di luar dan memiliki pusat dengan koordinat x yang sama (yaitu, x=2), titik singgungnya akan berada pada garis vertikal yang menghubungkan kedua pusat tersebut. Titik singgung akan berada pada lingkaran P dan Q.

Titik singgung terletak pada garis yang menghubungkan pusat P(2,0) dan Q(2,6). Karena kedua pusat memiliki absis yang sama, garis yang menghubungkan mereka adalah garis vertikal x=2.

Pada lingkaran P, jari-jarinya adalah 2. Karena pusatnya di (2,0), titik pada lingkaran P yang berjarak 2 dari pusat pada garis x=2 bisa jadi (2, 0+2) = (2,2) atau (2, 0-2) = (2,-2).

Pada lingkaran Q, jari-jarinya adalah 4. Karena pusatnya di (2,6), titik pada lingkaran Q yang berjarak 4 dari pusat pada garis x=2 bisa jadi (2, 6+4) = (2,10) atau (2, 6-4) = (2,2).

Titik singgung adalah titik yang dimiliki bersama oleh kedua lingkaran. Dari analisis di atas, titik (2,2) memenuhi kondisi ini.

Untuk verifikasi:
Untuk lingkaran P: (2-2)^2 + (2-0)^2 = 0^2 + 2^2 = 4. (Benar)
Untuk lingkaran Q: (2-2)^2 + (2-6)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16. Karena jari-jari Q adalah 4, kuadrat jari-jarinya adalah 16. (Benar)

Jadi, koordinat titik singgungnya adalah (2, 2).