Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y=x^2-x-2 dan

9/2 satuan luas

Pembahasan

Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x^2 - x - 2 dan sumbu X, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1.  Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X.
    Titik potong dengan sumbu X terjadi ketika y = 0. Jadi, kita selesaikan persamaan kuadrat:
x^2 - x - 2 = 0
    Faktorkan persamaan kuadrat:
(x - 2)(x + 1) = 0
    Ini memberikan dua solusi: x = 2 dan x = -1.
    Jadi, grafik memotong sumbu X di x = -1 dan x = 2.

2.  Tentukan apakah grafik berada di atas atau di bawah sumbu X di antara titik potong tersebut.
    Kita bisa menguji nilai x di antara -1 dan 2, misalnya x = 0:
y = (0)^2 - (0) - 2 = -2.
    Karena hasilnya negatif, grafik berada di bawah sumbu X pada interval [-1, 2].

3.  Hitung luas daerah menggunakan integral.
    Luas daerah di bawah sumbu X dihitung dengan integral tentu dari fungsi tersebut dari batas bawah (-1) ke batas atas (2), dan hasilnya akan negatif. Untuk mendapatkan luas positif, kita ambil nilai absolutnya atau mengintegralkan -f(x).
    Luas = | ∫[-1 to 2] (x^2 - x - 2) dx |
    ∫ (x^2 - x - 2) dx = (x^3)/3 - (x^2)/2 - 2x

    Evaluasi integral pada batas atas dan bawah:
    [(2)^3/3 - (2)^2/2 - 2(2)] - [(-1)^3/3 - (-1)^2/2 - 2(-1)]
    = [8/3 - 4/2 - 4] - [-1/3 - 1/2 + 2]
    = [8/3 - 2 - 4] - [-1/3 - 1/2 + 2]
    = [8/3 - 6] - [-1/3 - 1/2 + 2]
    = [8/3 - 18/3] - [-2/6 - 3/6 + 12/6]
    = [-10/3] - [7/6]
    = -20/6 - 7/6
    = -27/6
    = -9/2

    Luas daerah adalah nilai absolut dari hasil integral, yaitu |-9/2| = 9/2 satuan luas.

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y=x^2-x-2 dan sumbu X adalah 9/2 satuan luas.