Nilai dari fungsi limit di bawah ini adalah... lim _(X ->

8

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari limit fungsi tersebut, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Fungsi yang diberikan adalah: lim_(X -> 0) ((4 sin^2(2x)) / (x tan(2x)))

Kita tahu bahwa tan(2x) = sin(2x) / cos(2x).
Jadi, ekspresi menjadi:
lim_(X -> 0) ((4 sin^2(2x)) / (x * (sin(2x) / cos(2x))))

Ini dapat disederhanakan menjadi:
lim_(X -> 0) ((4 sin^2(2x) * cos(2x)) / (x sin(2x)))

Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan sin(2x):
lim_(X -> 0) ((4 sin(2x) * cos(2x)) / x)

Sekarang kita gunakan sifat limit trigonometri dasar: lim_(u->0) (sin(u)/u) = 1.
Kita perlu memanipulasi ekspresi agar sesuai dengan bentuk ini. Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan 2x untuk sin(2x) dan dengan 2x untuk x:

lim_(X -> 0) (4 * (sin(2x) / (2x)) * 2 * cos(2x) / (x / (2x)) * 2)

Ini menjadi:
lim_(X -> 0) (8 * (sin(2x) / (2x)) * cos(2x))

Ketika X -> 0, maka 2x -> 0.
Kita tahu bahwa lim_(u->0) (sin(u)/u) = 1, jadi lim_(2x->0) (sin(2x)/(2x)) = 1.
Kita juga tahu bahwa lim_(X -> 0) cos(2x) = cos(0) = 1.

Jadi, limitnya adalah:
8 * 1 * 1 = 8

Alternatif menggunakan aturan L'Hopital (karena jika disubstitusi langsung menghasilkan bentuk 0/0):
lim_(X -> 0) ((4 sin^2(2x)) / (x tan(2x)))

Turunan dari pembilang (menggunakan aturan rantai): 4 * 2 sin(2x) * cos(2x) * 2 = 16 sin(2x) cos(2x)
Turunan dari penyebut (menggunakan aturan perkalian): 1 * tan(2x) + x * sec^2(2x) * 2 = tan(2x) + 2x sec^2(2x)

Jadi, limitnya menjadi:
lim_(X -> 0) ((16 sin(2x) cos(2x)) / (tan(2x) + 2x sec^2(2x)))

Substitusikan X = 0:
(16 sin(0) cos(0)) / (tan(0) + 2(0) sec^2(0))
(16 * 0 * 1) / (0 + 0 * 1^2)
0 / 0

Karena masih 0/0, kita terapkan L'Hopital lagi.

Turunan dari pembilang: 16 * [cos(2x)*2 * cos(2x) + sin(2x) * (-sin(2x)*2)] = 16 * [2cos^2(2x) - 2sin^2(2x)] = 32 cos(4x)
Turunan dari penyebut: sec^2(2x) * 2 + [2 sec^2(2x) + 2x * 2 sec(2x) * (sec(2x) tan(2x)) * 2]
= 2 sec^2(2x) + 2 sec^2(2x) + 8x sec^2(2x) tan(2x)
= 4 sec^2(2x) + 8x sec^2(2x) tan(2x)

Limitnya menjadi:
lim_(X -> 0) (32 cos(4x)) / (4 sec^2(2x) + 8x sec^2(2x) tan(2x))

Substitusikan X = 0:
(32 cos(0)) / (4 sec^2(0) + 8(0) sec^2(0) tan(0))
(32 * 1) / (4 * 1^2 + 0)
32 / 4 = 8

Jadi, nilai limitnya adalah 8.