Nilai dari lim n-> tak hingga

1/25

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit dari $\lim_{n \to \infty} \frac{5^{1+n} - 2^{n+3}}{5^{n+3} + 3^{n-4}}$, kita perlu membagi pembilang dan penyebut dengan suku dengan pangkat tertinggi dari n di penyebut, yaitu $5^{n+3}$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{5^{1+n} - 2^{n+3}}{5^{n+3} + 3^{n-4}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5^{1+n}}{5^{n+3}} - \frac{2^{n+3}}{5^{n+3}}}{\frac{5^{n+3}}{5^{n+3}} + \frac{3^{n-4}}{5^{n+3}}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{5^{(1+n)-(n+3)} - (\frac{2}{5})^{n+3}}{1 + \frac{3^{n-4}}{5^{n+3}}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{5^{-2} - (\frac{2}{5})^{n+3}}{1 + \frac{1}{3^4} \frac{3^n}{5^n} \frac{1}{5^3}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{25} - (\frac{2}{5})^{n+3}}{1 + \frac{1}{81} (\frac{3}{5})^n \frac{1}{125}}$

Ketika n mendekati tak hingga, $(2/5)^{n+3}$ mendekati 0 dan $(3/5)^n$ mendekati 0.

Jadi, limitnya adalah $\frac{\frac{1}{25} - 0}{1 + 0} = \frac{1}{25}$.

Jawaban yang benar adalah 1/25.