Nilai dari lim _(x -> tak hingga) (sin ^(2)((2)/(x))-cos

1/2

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk mengevaluasi nilai dari sebuah limit fungsi trigonometri ketika variabel x mendekati tak hingga.

Limit yang diberikan adalah:
lim_(x→∞) [sin²(2/x) - cos(1/x) + 1] / [sec(3/x) * tan²(3/x)]

Kita akan menggunakan beberapa sifat limit dan identitas trigonometri, serta substitusi.
Ketika x mendekati tak hingga (x → ∞), maka 1/x mendekati nol (1/x → 0), 2/x → 0, dan 3/x → 0.

Kita tahu bahwa:
*   lim_(u→0) sin(u)/u = 1
*   lim_(u→0) tan(u)/u = 1
*   lim_(u→0) cos(u) = 1
*   lim_(u→0) sec(u) = 1
*   Identitas trigonometri: tan(u) = sin(u)/cos(u)
*   Identitas trigonometri: sec(u) = 1/cos(u)
*   Identitas trigonometri: 1 - cos(u) = 2 sin²(u/2)
*   Identitas trigonometri: sin²(u) + cos²(u) = 1  => 1 - cos(u) = sin²(u) jika kita gunakan identitas yang sedikit berbeda atau jika u adalah sudut yang sama.
Lebih tepatnya, kita punya 1 - cos(u) = 2sin²(u/2). Tapi kita punya 1 - cos(1/x). Jika kita gunakan identitas 1 - cos(u) = 2 sin²(u/2), maka 1 - cos(1/x) = 2 sin²(1/(2x)).

Namun, ada identitas lain yang mungkin lebih berguna di sini: 1 + sin²(a) - cos(a). Jika kita mendekati 0, maka sin(a) ≈ a dan cos(a) ≈ 1 - a²/2.

Mari kita substitusikan u = 1/x. Ketika x → ∞, maka u → 0.
Limit menjadi:
lim_(u→0) [sin²(2u) - cos(u) + 1] / [sec(3u) * tan²(3u)]

Kita evaluasi bagian pembilang:
lim_(u→0) [sin²(2u) - cos(u) + 1]
= sin²(0) - cos(0) + 1
= 0² - 1 + 1 = 0

Kita evaluasi bagian penyebut:
lim_(u→0) [sec(3u) * tan²(3u)]
= sec(0) * tan²(0)
= 1 * 0² = 0

Karena kita mendapatkan bentuk 0/0, ini adalah bentuk tak tentu, jadi kita perlu menyederhanakan lebih lanjut.

Mari kita gunakan pendekatan Taylor/Maclaurin series untuk fungsi trigonometri di sekitar u=0:
sin(u) ≈ u - u³/6 + ...
sin²(u) ≈ (u - u³/6 + ...)² ≈ u²
sin²(2u) ≈ (2u)² = 4u²
cos(u) ≈ 1 - u²/2 + u⁴/24 - ...
sec(u) = 1/cos(u) ≈ 1 / (1 - u²/2) ≈ 1 + u²/2 (menggunakan deret binomial (1-x)⁻¹)
tan(u) ≈ u + u³/3 + ...
tan²(u) ≈ (u + u³/3)² ≈ u²
tan²(3u) ≈ (3u)² = 9u²

Substitusikan aproksimasi ini ke dalam limit:
lim_(u→0) [4u² - (1 - u²/2) + 1] / [(1 + (3u)²/2) * (9u²)]
lim_(u→0) [4u² - 1 + u²/2 + 1] / [(1 + 9u²/2) * 9u²]
lim_(u→0) [4u² + u²/2] / [9u² + 81u⁴/2]
lim_(u→0) [ (8u² + u²)/2 ] / [9u² + 81u⁴/2]
lim_(u→0) [9u²/2] / [9u²(1 + 9u²/2)]

Kita bisa membatalkan u² dari pembilang dan penyebut (karena u→0, u≠0):
lim_(u→0) (9/2) / [9(1 + 9u²/2)]

Sekarang substitusikan u=0:
= (9/2) / [9(1 + 0)]
= (9/2) / 9
= (9/2) * (1/9)
= 1/2

Metode lain menggunakan identitas:
Perhatikan pembilang: sin²(2u) + (1 - cos(u))
Kita tahu 1 - cos(u) = 2sin²(u/2).
Jadi pembilangnya adalah sin²(2u) + 2sin²(u/2).

Sekarang perhatikan penyebut: sec(3u) * tan²(3u) = (1/cos(3u)) * (sin²(3u)/cos²(3u)) = sin²(3u) / cos³(3u).

Limit menjadi:
lim_(u→0) [sin²(2u) + 2sin²(u/2)] / [sin²(3u) / cos³(3u)]
= lim_(u→0) [sin²(2u) + 2sin²(u/2)] * [cos³(3u) / sin²(3u)]

Kita pisahkan limitnya:
= lim_(u→0) [sin²(2u) / sin²(3u)] * lim_(u→0) [2sin²(u/2) / sin²(3u)] * lim_(u→0) [cos³(3u)]

Kita gunakan fakta bahwa lim_(x→0) sin(ax)/sin(bx) = a/b dan lim_(x→0) sin²(ax)/sin²(bx) = (a/b)².

lim_(u→0) sin²(2u) / sin²(3u) = (2/3)² = 4/9.
lim_(u→0) cos³(3u) = cos³(0) = 1³ = 1.

Sekarang bagian tengah:
lim_(u→0) 2sin²(u/2) / sin²(3u)
= 2 * lim_(u→0) [sin(u/2) / sin(3u)]²
= 2 * ( (1/2) / 3 )²
= 2 * (1/6)²
= 2 * (1/36)
= 1/18

Jadi, keseluruhan limitnya adalah:
(4/9) * (1/18) * 1 = 4 / (9 * 18) = 4 / 162 = 2 / 81.

Ini berbeda dari hasil sebelumnya (1/2). Mari kita periksa kembali aproksimasi Taylor.

Pembilang: sin²(2u) - cos(u) + 1
= (2u)² - (1 - u²/2) + 1  (mengabaikan orde yang lebih tinggi)
= 4u² - 1 + u²/2 + 1
= 4u² + u²/2 = (8u² + u²)/2 = 9u²/2.

Penyebut: sec(3u) * tan²(3u)
= (1/cos(3u)) * tan²(3u)
cos(3u) ≈ 1 - (3u)²/2 = 1 - 9u²/2
sec(3u) ≈ 1 / (1 - 9u²/2) ≈ 1 + 9u²/2
tan(3u) ≈ 3u
tan²(3u) ≈ (3u)² = 9u²

Penyebut ≈ (1 + 9u²/2) * 9u² = 9u² + 81u⁴/2.

Limit ≈ lim_(u→0) (9u²/2) / (9u² + 81u⁴/2)
Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan 9u²:
= lim_(u→0) (1/2) / (1 + 9u²/2)
Saat u→0, ini menjadi (1/2) / (1 + 0) = 1/2.

Hasil 1/2 tampaknya benar dengan menggunakan aproksimasi Taylor yang lebih teliti untuk pembilang dan penyebut.

Mari kita cek kembali identitas yang digunakan di metode kedua.
Bagian pembilang: sin²(2u) + 1 - cos(u).
Kita tahu 1 - cos(u) = 2sin²(u/2).
Pembilang = sin²(2u) + 2sin²(u/2).

Bagian penyebut: sec(3u) tan²(3u) = sin²(3u) / cos³(3u).

Limit = lim_(u→0) [sin²(2u) + 2sin²(u/2)] / [sin²(3u) / cos³(3u)]

Kita gunakan lim_(x→0) sin(ax)/x = a.
lim_(u→0) sin(2u)/u = 2.
lim_(u→0) sin(u/2)/u = 1/2.
lim_(u→0) sin(3u)/u = 3.

Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan u²:
lim_(u→0) [ (sin(2u)/u)² + 2(sin(u/2)/u)² ] / [ (sin(3u)/u)² / cos³(3u) ]
= [ 2² + 2(1/2)² ] / [ 3² / 1³ ]
= [ 4 + 2(1/4) ] / [ 9 / 1 ]
= [ 4 + 1/2 ] / 9
= [ 9/2 ] / 9
= (9/2) * (1/9)
= 1/2.

Kedua metode memberikan hasil 1/2. Ini adalah jawaban yang benar.

Untuk menyederhanakan soal ini, kita bisa menggunakan substitusi u = 1/x. Ketika x → ∞, u → 0.
Limit menjadi:
lim_(u→0) [sin²(2u) - cos(u) + 1] / [sec(3u) * tan²(3u)]

Pembilang = sin²(2u) + (1 - cos(u))
Kita tahu 1 - cos(u) ≈ u²/2 untuk u kecil, dan sin(2u) ≈ 2u untuk u kecil, sehingga sin²(2u) ≈ (2u)² = 4u².
Pembilang ≈ 4u² + u²/2 = 9u²/2.

Penyebut = sec(3u) * tan²(3u)
Kita tahu sec(3u) ≈ 1 untuk u kecil, dan tan(3u) ≈ 3u untuk u kecil, sehingga tan²(3u) ≈ (3u)² = 9u².
Penyebut ≈ 1 * 9u² = 9u².

Limit ≈ (9u²/2) / (9u²) = 1/2.

Ini adalah pendekatan cepat menggunakan aproksimasi.

Jawaban yang benar adalah 1/2.