Nilai dari limit x -> 0 (2 sin (1/2x))/x^2 adalah

Limit dari $\frac{2 \sin(\frac{1}{2}x)}{x^2}$ saat x mendekati 0 adalah tak hingga (divergen) karena pembaginya ($x^2$) menuju nol lebih cepat daripada pembilang.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menggunakan beberapa aturan limit dan identitas trigonometri. Limit yang diberikan adalah:
$$ L = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin(\frac{1}{2}x)}{x^2} $$

Kita tahu bahwa $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$. Mari kita coba manipulasi ekspresi agar sesuai dengan bentuk ini.

Kita bisa memisahkan ekspresi menjadi:
$$ L = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\sin(\frac{1}{2}x)}{x} \cdot \frac{1}{x} $$ 

Sekarang, perhatikan bagian $\frac{\sin(\frac{1}{2}x)}{x}$. Agar sesuai dengan $\frac{\sin(u)}{u}$, kita perlu mengalikan dan membagi dengan $\frac{1}{2}$:
$$ L = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\sin(\frac{1}{2}x)}{\frac{1}{2}x} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} $$ 

Ini menyederhanakan menjadi:
$$ L = \lim_{x \to 0} 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} $$ 
$$ L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} $$ 

Ketika $x$ mendekati 0, nilai $\frac{1}{x}$ akan mendekati tak hingga (positif jika $x$ mendekati 0 dari kanan, dan negatif jika $x$ mendekati 0 dari kiri). Oleh karena itu, limit ini tidak terdefinisi atau divergen.

Kemungkinan ada kesalahan dalam penulisan soal atau pemahaman soalnya. Jika soalnya adalah $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin(\frac{1}{2}x)}{x}$, maka nilai limitnya adalah 1. Jika soalnya $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin(\frac{1}{2}x)}{2x}$, maka nilai limitnya juga 1.

Namun, dengan bentuk soal yang tertulis $\frac{2 \sin(\frac{1}{2}x)}{x^2}$, nilai limitnya adalah tak hingga.