Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
Nilai dari limit x -> pi/4 (cos(2x))/(cos x-sin x) adalah
Pertanyaan
Nilai dari limit x -> pi/4 (cos(2x))/(cos x-sin x) adalah ...
Solusi
Verified
akar(2)
Pembahasan
Untuk mencari nilai limit $\lim_{x \to \pi/4} \frac{\cos(2x)}{\cos x - \sin x}$, kita dapat menggunakan substitusi langsung terlebih dahulu. Namun, substitusi $x = \pi/4$ akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0. Kita dapat menggunakan identitas trigonometri $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Maka, limit tersebut menjadi: $\lim_{x \to \pi/4} \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x - \sin x}$ Kita tahu bahwa $\cos^2 x - \sin^2 x$ adalah selisih kuadrat, yang dapat difaktorkan menjadi $(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$. Sehingga, limitnya menjadi: $\lim_{x \to \pi/4} \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\cos x - \sin x}$ Kita bisa membatalkan $(\cos x - \sin x)$ di pembilang dan penyebut: $\lim_{x \to \pi/4} (\cos x + \sin x)$ Sekarang, kita substitusikan $x = \pi/4$: $\cos(\pi/4) + \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\sqrt{2}$.
Topik: Limit Fungsi Trigonometri
Section: Bentuk Tak Tentu
Apakah jawaban ini membantu?