Nilai dari limit x->x/4 (1-2 sin^2 x)/(sin x-cos x) adalah

$-\sqrt{2}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan substitusi.

Limit yang diberikan adalah: $\lim_{x \to \pi/4} \frac{1 - 2 \sin^2 x}{\sin x - \cos x}$

Kita tahu identitas trigonometri $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$. Jadi, pembilang dapat ditulis sebagai $\cos(2x)$.

Limit menjadi: $\lim_{x \to \pi/4} \frac{\cos(2x)}{\sin x - \cos x}$

Sekarang, mari kita substitusikan $x = \pi/4$ ke dalam fungsi:
Pembilang: $\cos(2 * \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0$
Penyebut: $\sin(\pi/4) - \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita perlu menyederhanakan ekspresi lebih lanjut atau menggunakan aturan L'Hôpital. Mari kita coba gunakan identitas $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$.

Limit menjadi: $\lim_{x \to \pi/4} \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{-(\cos x - \sin x)}$

Kita bisa membatalkan $(\cos x - \sin x)$ dari pembilang dan penyebut (karena $x \to \pi/4$, $\cos x \neq \sin x$, sehingga $\cos x - \sin x \neq 0$).

Limit menjadi: $\lim_{x \to \pi/4} -(\cos x + \sin x)$

Sekarang, substitusikan $x = \pi/4$:
$-(\cos(\pi/4) + \sin(\pi/4))$
$-(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})$
$-(\frac{2\sqrt{2}}{2})$
$-\sqrt{2}$

Jadi, nilai dari limit $\lim_{x \to \pi/4} \frac{1 - 2 \sin^2 x}{\sin x - \cos x}$ adalah $-\sqrt{2}$.