Nilai lim x->0 (1-cos 2x)/(x tan 2x) adalah ...

Nilai limitnya adalah 1.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim x->c f(x)/g(x) menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim x->c f'(x)/g'(x).

Turunan dari pembilang (1-cos 2x) adalah -(-sin 2x * 2) = 2 sin 2x.
Turunan dari penyebut (x tan 2x) adalah (1 * tan 2x) + (x * sec^2(2x) * 2) = tan 2x + 2x sec^2(2x).

Jadi, limitnya menjadi:
lim x->0 (2 sin 2x) / (tan 2x + 2x sec^2(2x))

Jika kita substitusikan x=0 lagi, kita masih mendapatkan 0/0. Maka kita gunakan aturan L'Hopital lagi.

Turunan dari pembilang (2 sin 2x) adalah 2(cos 2x * 2) = 4 cos 2x.
Turunan dari penyebut (tan 2x + 2x sec^2(2x)) adalah sec^2(2x) * 2 + (2 * sec^2(2x) + 2x * 2 sec(2x) * sec(2x) tan(2x) * 2) = 2 sec^2(2x) + 2 sec^2(2x) + 8x sec^2(2x) tan(2x) = 4 sec^2(2x) + 8x sec^2(2x) tan(2x).

Jadi, limitnya menjadi:
lim x->0 (4 cos 2x) / (4 sec^2(2x) + 8x sec^2(2x) tan(2x))

Sekarang substitusikan x=0:
(4 cos 0) / (4 sec^2(0) + 8(0) sec^2(0) tan(0))
(4 * 1) / (4 * 1^2 + 0)
4 / 4 = 1

Alternatif lain, kita bisa menggunakan identitas trigonometri:
1 - cos 2x = 2 sin^2 x
tan 2x = 2 tan x / (1 - tan^2 x)
lim x->0 (2 sin^2 x) / (x * (2 tan x / (1 - tan^2 x)))
lim x->0 (sin^2 x * (1 - tan^2 x)) / (x tan x)
Kita tahu bahwa lim x->0 sin x / x = 1 dan lim x->0 tan x / x = 1.
lim x->0 (sin x / x) * sin x * (1 - tan^2 x) / tan x
= 1 * 0 * (1 - 0) / 0, ini masih belum menyelesaikan.

Mari kita gunakan pendekatan lain:
lim x->0 (1-cos 2x)/(x tan 2x)
Gunakan 1 - cos 2x = 2 sin^2 x
Gunakan tan 2x = sin 2x / cos 2x
Gunakan sin 2x = 2 sin x cos x

lim x->0 (2 sin^2 x) / (x * (2 sin x cos x / cos 2x))
lim x->0 (sin x * cos 2x) / (x cos x)
Kita tahu lim x->0 sin x / x = 1
lim x->0 (sin x / x) * (cos 2x / cos x)
= 1 * (cos 0 / cos 0)
= 1 * (1 / 1)
= 1