Nilai Limit darilim x -> 1 akar(1-x^3)/(1-x^2)=

Nilai limitnya adalah tak hingga.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi setelah menyederhanakan bentuknya.

Limit yang diberikan adalah: lim (x -> 1) [akar(1-x^3) / (1-x^2)]

Saat x mendekati 1, baik pembilang maupun penyebut mendekati 0 (bentuk tak tentu 0/0). Kita bisa memfaktorkan pembilang dan penyebut.
Pembilang: akar(1-x^3) = akar((1-x)(1+x+x^2))
Penyebut: 1-x^2 = (1-x)(1+x)

Jadi, limitnya menjadi: lim (x -> 1) [akar((1-x)(1+x+x^2)) / ((1-x)(1+x))]

Kita bisa menulis ulang penyebut sebagai (1-x) * (1+x).
Limit = lim (x -> 1) [akar(1-x) * akar(1+x+x^2) / ((1-x)(1+x))]

Untuk menyederhanakan, kita perhatikan bahwa (1-x) di penyebut bisa ditulis sebagai [akar(1-x)]^2.
Limit = lim (x -> 1) [akar(1-x) * akar(1+x+x^2) / ([akar(1-x)]^2 * (1+x))]
Limit = lim (x -> 1) [akar(1+x+x^2) / (akar(1-x) * (1+x))]

Sepertinya ada kesalahan dalam faktorisasi awal. Mari kita coba faktorisasi yang lebih umum.

Kita bisa mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugatnya untuk menghilangkan akar di pembilang, namun itu akan lebih rumit. Cara yang lebih mudah adalah dengan mengenali bentuknya atau menggunakan aturan L'Hopital jika diperlukan. Namun, coba kita manipulasi aljabarnya lagi.

lim (x -> 1) [akar(1-x^3) / (1-x^2)]
Kita bisa pisahkan akar(1-x^3) menjadi akar(1-x) * akar(1+x+x^2).
Dan penyebut 1-x^2 = (1-x)(1+x).

limit = lim (x -> 1) [akar(1-x) * akar(1+x+x^2) / ((1-x)(1+x))]

Kita bisa tulis (1-x) di penyebut sebagai (akar(1-x))^2.
limit = lim (x -> 1) [akar(1-x) * akar(1+x+x^2) / ((akar(1-x))^2 * (1+x))]
limit = lim (x -> 1) [akar(1+x+x^2) / (akar(1-x) * (1+x))]

Saat x mendekati 1, pembilang mendekati akar(1+1+1) = akar(3).
Penyebut mendekati akar(1-1) * (1+1) = akar(0) * 2 = 0.

Ini berarti limitnya menuju tak hingga. Namun, perhatikan bahwa (1-x) di penyebut akan menjadi negatif saat x > 1, dan positif saat x < 1. Karena kita mendekati dari kedua sisi, kita perlu melihat lebih detail.

Mari kita gunakan aturan L'Hopital karena kita mendapatkan bentuk 0/0.
Turunan dari akar(1-x^3) adalah (1/2) * (1-x^3)^(-1/2) * (-3x^2) = -3x^2 / (2 * akar(1-x^3)).
Turunan dari (1-x^2) adalah -2x.

Jadi, limitnya menjadi: lim (x -> 1) [-3x^2 / (2 * akar(1-x^3))] / (-2x)
= lim (x -> 1) [-3x^2 / (2 * akar(1-x^3))] * (1 / -2x)
= lim (x -> 1) [3x^2 / (4x * akar(1-x^3))]
= lim (x -> 1) [3x / (4 * akar(1-x^3))]

Saat x mendekati 1, pembilang mendekati 3(1) = 3.
Penyebut mendekati 4 * akar(1-1^3) = 4 * akar(0) = 0.

Karena pembilang mendekati nilai positif dan penyebut mendekati 0, limitnya adalah tak hingga. Namun, kita perlu memperhatikan tanda dari penyebut. Akar(1-x^3) akan bernilai riil hanya jika 1-x^3 >= 0, yang berarti x^3 <= 1, atau x <= 1. Ketika x mendekati 1 dari kiri (x < 1), 1-x^3 positif, jadi akar(1-x^3) positif. Dengan demikian, penyebut 4 * akar(1-x^3) positif mendekati 0. Maka limitnya adalah positif tak hingga.

Jika kita tidak menggunakan L'Hopital dan mencoba menyederhanakan:
lim (x -> 1) [akar(1-x^3) / (1-x^2)]
Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan (1-x):
lim (x -> 1) [akar(1-x^3)/(1-x)] / [(1-x^2)/(1-x)]
= lim (x -> 1) [akar((1-x)(1+x+x^2))/(1-x)] / (1+x)
= lim (x -> 1) [akar(1-x) * akar(1+x+x^2) / (akar(1-x) * akar(1-x))] / (1+x)
= lim (x -> 1) [akar(1+x+x^2) / akar(1-x)] / (1+x)

Saat x mendekati 1, bagian [akar(1+x+x^2) / akar(1-x)] akan menuju tak hingga karena penyebutnya menuju 0 dari sisi positif, dan pembilangnya menuju akar(3).
Jadi, limitnya adalah tak hingga.