Nilai limit x -> 0 (2x^2 sin 2x)/((cos 2x - 1) tan x)

Nilai limitnya adalah -2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita dapat menggunakan metode substitusi atau L'Hopital's Rule jika menemui bentuk tak tentu. 
Limit x -> 0 (2x^2 sin 2x)/((cos 2x - 1) tan x)
Substitusi x = 0 ke dalam fungsi:
Pembilang: 2(0)^2 sin(2*0) = 0 * 0 = 0
Penyebut: (cos(2*0) - 1) tan(0) = (cos(0) - 1) * 0 = (1 - 1) * 0 = 0 * 0 = 0
Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan L'Hopital's Rule atau menyederhanakan fungsi.

Menggunakan penyederhanaan:
Ingat bahwa sin(ax) ≈ ax dan tan(x) ≈ x untuk x mendekati 0.
Limit x -> 0 (2x^2 * (2x)) / ((cos 2x - 1) * x)
= Limit x -> 0 (4x^3) / ((cos 2x - 1) * x)
= Limit x -> 0 (4x^2) / (cos 2x - 1)

Kita tahu bahwa cos(2x) - 1 = -2 sin^2(x). 
= Limit x -> 0 (4x^2) / (-2 sin^2(x))
= Limit x -> 0 (-2x^2) / (sin^2(x))

Kita tahu bahwa sin(x) ≈ x untuk x mendekati 0, sehingga sin^2(x) ≈ x^2.
= Limit x -> 0 (-2x^2) / (x^2)
= -2

Alternatif menggunakan L'Hopital's Rule:
Turunan pembilang: d/dx (2x^2 sin 2x) = 4x sin 2x + 2x^2 (2 cos 2x) = 4x sin 2x + 4x^2 cos 2x
Turunan penyebut: d/dx ((cos 2x - 1) tan x) = (-2 sin 2x) tan x + (cos 2x - 1) sec^2 x

Menerapkan L'Hopital's Rule lagi:
Limit x -> 0 (4x sin 2x + 4x^2 cos 2x) / ((-2 sin 2x) tan x + (cos 2x - 1) sec^2 x)
Substitusi x=0:
Pembilang: 4(0)sin(0) + 4(0)^2cos(0) = 0
Penyebut: (-2 sin 0) tan 0 + (cos 0 - 1) sec^2 0 = 0 + (1-1)*1 = 0

Karena masih 0/0, kita gunakan penyederhanaan lagi pada ekspresi awal:
Limit x -> 0 (2x^2 sin 2x)/((cos 2x - 1) tan x)
= Limit x -> 0 (2x^2 (2x)) / ((-2sin^2 x) x)  [menggunakan sin(2x) = 2sin x cos x, cos(2x)-1 = -2sin^2 x, tan x = sin x / cos x]
= Limit x -> 0 (4x^3) / (-2x sin^2 x)
= Limit x -> 0 (2x^2) / (-sin^2 x)
= Limit x -> 0 (2x^2) / (-x^2)
= -2