Nilai limit x->0 (cos4x-cos6x)/(cos2x sin^2 5x)=...

2/5

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan L'Hopital's Rule jika diperlukan.

Limit yang diberikan adalah: 
lim (x->0) [ (cos(4x) - cos(6x)) / (cos(2x) * sin^2(5x)) ]

1.  **Substitusi Langsung:**
    Jika kita substitusikan x = 0:
    Pembilang: cos(0) - cos(0) = 1 - 1 = 0
    Penyebut: cos(0) * sin^2(0) = 1 * 0^2 = 0
    Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan L'Hopital's Rule atau manipulasi aljabar.

2.  **Menggunakan Identitas Trigonometri:**
    Gunakan identitas: cos(A) - cos(B) = -2 * sin((A+B)/2) * sin((A-B)/2)
    Jadi, cos(4x) - cos(6x) = -2 * sin((4x+6x)/2) * sin((4x-6x)/2)
    = -2 * sin(5x) * sin(-x)
    = -2 * sin(5x) * (-sin(x))
    = 2 * sin(5x) * sin(x)

    Limit menjadi: 
    lim (x->0) [ (2 * sin(5x) * sin(x)) / (cos(2x) * sin^2(5x)) ]

    Kita bisa menyederhanakan satu faktor sin(5x) di pembilang dan penyebut:
    lim (x->0) [ (2 * sin(x)) / (cos(2x) * sin(5x)) ]

    Sekarang, kita gunakan sifat limit standar: lim (x->0) [ sin(ax) / (ax) ] = 1.
    Kita manipulasi agar sesuai dengan bentuk ini:
    = lim (x->0) [ (2 * sin(x) / x) * (5x / sin(5x)) * (x / (5x)) * (1 / cos(2x)) ]
    = lim (x->0) [ 2 * (sin(x) / x) * (5x / sin(5x)) * (1/5) * (1 / cos(2x)) ]

    Saat x -> 0:
    *   sin(x) / x -> 1
    *   5x / sin(5x) -> 1
    *   cos(2x) -> cos(0) = 1

    Maka, limitnya adalah:
    = 2 * 1 * 1 * (1/5) * (1 / 1)
    = 2/5

    Alternatif menggunakan L'Hopital's Rule pada bentuk 0/0 awal:
    lim (x->0) [ (cos(4x) - cos(6x)) / (cos(2x) * sin^2(5x)) ]

    Turunan pembilang: d/dx (cos(4x) - cos(6x)) = -4sin(4x) - (-6sin(6x)) = -4sin(4x) + 6sin(6x)

    Turunan penyebut: d/dx [cos(2x) * sin^2(5x)]
    Gunakan aturan perkalian: u = cos(2x), v = sin^2(5x)
    u' = -2sin(2x)
    v' = 2sin(5x) * cos(5x) * 5 = 10sin(5x)cos(5x) = 5sin(10x)
    Turunan penyebut = u'v + uv' = -2sin(2x)sin^2(5x) + cos(2x)(5sin(10x))

    Sekarang substitusi x=0 pada turunan:
    Pembilang turunan: -4sin(0) + 6sin(0) = 0
    Penyebut turunan: -2sin(0)sin^2(0) + cos(0)(5sin(0)) = 0 + 1(0) = 0
    Masih bentuk 0/0. Perlu L'Hopital lagi.

    Ini menjadi lebih rumit. Metode identitas trigonometri lebih efisien.

    Mari kita cek ulang hasil dari identitas:
    lim (x->0) [ (2 * sin(x)) / (cos(2x) * sin(5x)) ]

    Kita bisa menulis ulang sebagai:
    lim (x->0) [ 2 * (sin(x)/x) * (x/sin(5x)) * (1/cos(2x)) ]
    = lim (x->0) [ 2 * (sin(x)/x) * (5x/sin(5x)) * (1/5) * (1/cos(2x)) ]
    = 2 * (1) * (1) * (1/5) * (1/1)
    = 2/5

    Jadi, nilai limitnya adalah 2/5.