Nilai maksimum a sehingga sistem persamaan x+y=4a

Nilai maksimum a adalah 9/8.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear kuadratik ini, kita dapat menggunakan metode substitusi. Dari persamaan pertama, x + y = 4a, kita bisa mendapatkan y = 4a - x. Substitusikan ini ke persamaan kedua: 2x^2 + y^2 = 12a.
2x^2 + (4a - x)^2 = 12a
2x^2 + (16a^2 - 8ax + x^2) = 12a
3x^2 - 8ax + 16a^2 - 12a = 0

Agar sistem persamaan ini mempunyai penyelesaian, persamaan kuadratik dalam x ini harus memiliki akar riil. Ini berarti diskriminannya harus lebih besar dari atau sama dengan nol (D >= 0).
Diskriminan D = b^2 - 4ac, di mana a=3, b=-8a, dan c=16a^2 - 12a.
D = (-8a)^2 - 4 * 3 * (16a^2 - 12a)
D = 64a^2 - 12 * (16a^2 - 12a)
D = 64a^2 - 192a^2 + 144a
D = -128a^2 + 144a

Agar D >= 0:
-128a^2 + 144a >= 0
a(-128a + 144) >= 0

Kita perlu mencari nilai a yang memenuhi pertidaksamaan ini. Akar-akarnya adalah a = 0 dan -128a + 144 = 0 => a = 144/128 = 9/8.
Karena koefisien a^2 negatif, parabola terbuka ke bawah. Jadi, pertidaksamaan terpenuhi di antara akar-akarnya.
0 <= a <= 9/8

Nilai maksimum a sehingga sistem persamaan mempunyai penyelesaian adalah 9/8.