Nilai maksimum fungsi y=1+sin 2x+cos 2x adalah ....

Nilai maksimum fungsi adalah 1 + \sqrt{2}.

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum fungsi y = 1 + sin(2x) + cos(2x), kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan manipulasi aljabar.

Misalkan kita memiliki bentuk R sin(2x + \alpha) atau R cos(2x - \beta).
Kita tahu bahwa a sin \theta + b cos \theta = R sin(\theta + \alpha), di mana R = \sqrt{a^2 + b^2}, sin \alpha = b/R, dan cos \alpha = a/R.

Dalam kasus ini, kita memiliki sin(2x) + cos(2x). Di sini, a = 1 (koefisien sin 2x) dan b = 1 (koefisien cos 2x), dan \theta = 2x.

Maka, R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}.

Sehingga, sin(2x) + cos(2x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(2x) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(2x) \right).
Kita bisa mengenali bahwa \frac{1}{\sqrt{2}} = cos(45^\circ) = sin(45^\circ).
Jadi, sin(2x) + cos(2x) = \sqrt{2} \left( \cos(45^\circ) \sin(2x) + \sin(45^\circ) \cos(2x) \right).
Menggunakan identitas sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B, kita dapatkan:
sin(2x) + cos(2x) = \sqrt{2} \sin(2x + 45^\circ).

Sekarang, fungsi y menjadi y = 1 + \sqrt{2} \sin(2x + 45^\circ).

Nilai maksimum dari fungsi sinus adalah 1. Jadi, nilai maksimum dari \sin(2x + 45^\circ) adalah 1.

Oleh karena itu, nilai maksimum dari y adalah:
y_maksimum = 1 + \sqrt{2} (1) = 1 + \sqrt{2}.

Jadi, nilai maksimum fungsi y = 1 + sin 2x + cos 2x adalah 1 + \sqrt{2}.