Nilai minimum dan maksimum dari f(x,y)=5x+3y yang memenuhi

Nilai minimum adalah 0 dan nilai maksimum adalah 32.

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dan maksimum dari fungsi f(x,y) = 5x + 3y dengan kendala pertidaksamaan linear, kita perlu menggunakan metode program linear, khususnya pada konsep programasi linear.

Kendala yang diberikan adalah:
1. x + 2y <= 12
2. 2x + y <= 12
3. x >= 0
4. y >= 0

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

1. **Menggambar Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP):**
   - Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan untuk mencari titik potong:
     - x + 2y = 12
       - Jika x=0, 2y=12 => y=6. Titik (0,6)
       - Jika y=0, x=12. Titik (12,0)
     - 2x + y = 12
       - Jika x=0, y=12. Titik (0,12)
       - Jika y=0, 2x=12 => x=6. Titik (6,0)
   - Tentukan DHP dengan menguji titik (0,0) pada setiap pertidaksamaan.
     - 0 + 2(0) <= 12 (Benar)
     - 2(0) + 0 <= 12 (Benar)
     - 0 >= 0 (Benar)
     - 0 >= 0 (Benar)
   - Daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan kedua garis tersebut.

2. **Mencari Titik-Titik Sudut DHP:**
   - Titik sudut pertama adalah perpotongan sumbu x dan y, yaitu (0,0).
   - Titik sudut kedua adalah perpotongan garis x + 2y = 12 dengan sumbu x (y=0), yaitu (12,0). Namun, kita perlu memeriksa apakah titik ini memenuhi kendala lain. Untuk 2x+y<=12, 2(12)+0 = 24 > 12, jadi (12,0) bukan titik sudut DHP.
   - Titik sudut kedua adalah perpotongan garis 2x + y = 12 dengan sumbu y (x=0), yaitu (0,12). Namun, kita perlu memeriksa apakah titik ini memenuhi kendala lain. Untuk x+2y<=12, 0+2(12) = 24 > 12, jadi (0,12) bukan titik sudut DHP.
   - Titik sudut yang benar adalah:
     - (0,0)
     - Perpotongan x + 2y = 12 dengan sumbu x (y=0) => (12,0). Cek 2x+y<=12: 2(12)+0=24>12. Jadi bukan.
     - Perpotongan 2x + y = 12 dengan sumbu y (x=0) => (0,12). Cek x+2y<=12: 0+2(12)=24>12. Jadi bukan.
     - Perpotongan garis x + 2y = 12 dan 2x + y = 12:
       Kalikan persamaan pertama dengan 2: 2x + 4y = 24
       Kurangkan persamaan kedua: (2x + 4y) - (2x + y) = 24 - 12 => 3y = 12 => y = 4
       Substitusikan y = 4 ke x + 2y = 12: x + 2(4) = 12 => x + 8 = 12 => x = 4. Titik (4,4)
     - Perpotongan x + 2y = 12 dengan sumbu x (y=0): x = 12. Titik (12,0). Cek 2x+y<=12: 2(12)+0 = 24 > 12. Tidak memenuhi.
     - Perpotongan 2x + y = 12 dengan sumbu x (y=0): 2x = 12 => x = 6. Titik (6,0). Cek x+2y<=12: 6+2(0) = 6 <= 12. Memenuhi.
     - Perpotongan x + 2y = 12 dengan sumbu y (x=0): 2y = 12 => y = 6. Titik (0,6). Cek 2x+y<=12: 2(0)+6 = 6 <= 12. Memenuhi.

   Jadi, titik-titik sudut DHP adalah (0,0), (6,0), (0,6), dan (4,4).

3. **Menghitung Nilai f(x,y) di Setiap Titik Sudut:**
   - Di (0,0): f(0,0) = 5(0) + 3(0) = 0
   - Di (6,0): f(6,0) = 5(6) + 3(0) = 30
   - Di (0,6): f(0,6) = 5(0) + 3(6) = 18
   - Di (4,4): f(4,4) = 5(4) + 3(4) = 20 + 12 = 32

4. **Menentukan Nilai Minimum dan Maksimum:**
   - Nilai minimum adalah 0 (terjadi di titik (0,0)).
   - Nilai maksimum adalah 32 (terjadi di titik (4,4)).

Jadi, nilai minimum dan maksimum dari f(x,y)=5x+3y yang memenuhi pertidaksamaan yang diberikan adalah 0 dan 32.